Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Эллиптическая задача
5.1. Предварительное преобразование гамильтониана. Для
дальнейшего исследования сделаем следующие упрощающие предположения:
1) В задаче учитываются только гравитационные силы, причем поля тяготения Земли и Луны центральные. При этом функции К в (3.1), К* в (3.42) тождественно равны нулю и вместе с ним тождественно равны нулю АЧ3) в (3.36), а и а* в (3.67).
2) Пренебрежем возмущающим влиянием Солнца, положив в уравнениях движения К2 — 0. Тогда из (3.7) следует, что
11 А. П. Маркеев
282 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
Р (t) = 0 и из соотношений (3.9) и (3.43) получаем
Й* = (0, 0, со (f)), VJ = (0, со (*) | г, (*) | 2, 0). (5.1)
Проектируя теперь левую часть уравнения (3.44) на оси ординат и абсцису получаем соответственно такие скалярные уравнения:
..=0, (5.2)
1*1 (01 d^df)L + 177Щ - (t) I Г! (0 [2 = 0. (5.3)
Из уравнения (5.2) следует интеграл площадей
ю W I ri № I 2 = I ci I (I ci I = const), (5,4)
а решение уравнения (5.3) определяет эллиптическое движение Луны
1'‘<'Н = т&зй-- <5-5>
где а и е - большая полуось и эксцентриситет орбиты,
а (1 — е2) (к + кг) = | сх |2, (5.6)
переменная у-—истинная аномалия эллиптического движения Луны:
4г-“(')= KWF- <5Л>
Нетрудно проверить, что при сделанных выше двух предположениях уравнения (3.64) и (3.67) удовлетворяются решениями х ~ 0, о = 0. Таким образом, мы приходим к задаче о движении тела пренебрежимо малой массы вблизи коллинеарной точки либрации L2 эллиптической ограниченной задачи трех тел. Эта задача описывается функцией Гамильтона (3.36), в которой надо положить
Ч = (1+Р).Н1, Къ = 0, К3 = 0, О* =(0,0,-^). (5.8)
Используя соотношение (5.7), введем новую независимую переменную — истинную аномалию v и вместо вектора р (компоненты которого имеют размерность константы площадей) безразмерный вектор р согласно следующим формулам канонического преобразования q, р —*¦ q, р:
Ч Р = І сі | р- (5.9)
Тогда гамильтониан задачи запишется в таком виде:
н = ylPl8+ "Г" f'co-v + ^'i) — KL — К?. (5.10)
TT7 L(~ (Т+гГ (5-14)
«=2
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
283
^ = (5-12)
Величины )t и р определены равенствами (3.46), (3.47):
Z = ftRl) , 21= -4Я-’.Кі). = —z, (5.13)
I q 11 Ri I |q||Ril
К1 = -(й, [?,?]), QT = (0,0,1), (5.14)
*2=WT^№ <5--15>
Ниже используются следующие обозначения для компонент векторов q и р: j ij і
,qT = (g(1), g(2), g(3))’ pT = (p(1), p<2\p<3>),
а также обозначение для вектора х, составленного из компонент векторов q, р:
хт = (gd), g<?),p<1), р<2), q(3\p(3)), | XI = У | q |2 + |р|2.
Мы интересуемся движениями, для которых КА не покидает достаточно малую окрестность точки Ь2. Будем поэтому считать ?(і), малыми величинами, причем малыми первого порядка.. Гамильтониан (5.10) содержит еще один малый параметр — эксцентриситет е орбиты Луны. Его считаем величиной первого порядка малости. Дальнейшие преобразования основаны на предполагаемой малости величин | х | и е. Поэтому целесообразно представить гамильтониан в виде суммы
ОО
в = 21 В т, где #m~|x|m.
m=2
Функции Нт можно представить в виде рядов по степеням эксцентриситета е
оо
Вт = 21 ek COSkvB(m\ (5.16)
Тс—о
где Нт не зависят от е и V. Обозначим
(5-17)
Используя выражение для гамильтониана (5.10) и формулы (5.11)—
(5.15), нетрудно показать, что функции Й^т имеют следующий вид:
11*
284
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2
[ГЛ. 14
При 771 = 2
IРI2 - А21 q |2Р2 (^-) - Cq(1)Pw - ?(2)Р(1)), (5.18)
#<*>*> = (_ 1)^1\qр Р2^j + 11їI2} ; (5.19)
при тп 2
= (_ 1)«+^т | Ї ГРт • (5.20)
Используемый нами метод состоит в нахождении нормальной формы гамильтониана (5.10) и соответствующего нормализующего преобразования. Общее решение системы, описываемой функцией Гамильтона, имеющей нормальную форму, может быть найдено в замкнутом виде. Зная нормализующее преобразование и преобразование, обратное ему, легко получить приближенные значения начальных координат и компонент вектора скорости, реализующих интересующие нас движения, близкие Ьг.
Нормальную форму гамильтониана (5.10) можно в принципе получить в сколь угодно высоком приближении относительно малых параметров. Мы ограничимся получением решения с точностью до величин третьего порядка малости относительно начальных значений координат qW и импульсов и величины эксцентриситета е. Для этого нормальную форму гамильтониана следует получить с точностью до величин четвертого порядка малости включительно. Это означает, что при нормализации квадратичной части Н2 гамильтониана (5.10) надо учесть степени эксцентриситета до второй включительно; при нормализации членов третьего порядка й3 — до первой степени е, а при нормализации совокупности членов четвертого порядка йі величиной эксцентриситета можно пренебречь. Формы йт для тп > 5 также можно не рассматривать.
5.2. Нормализация квадратичной части гамильтониана. Для
получения нормальной формы функции Гамильтона (5.10) и соответствующего нормализующего преобразования надо сначала произвести нормализацию квадратичной части й2. Последовательность действий будет такой: 1) нормализация й2\ 2) исключение из гамильтониана йг членов, пропорциональных е, 3) исключение членов, пропорциональных е2.
