Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
где суммирование происходит по целым неотрицательным числам Л;, сумма которых равна четырем. Числовые значения коэффициентов формы Wi были получены на ЭВМ. Эти значения сведены в табл. 22. Невыписанные коэффициенты формы Wn равны нулю. Коэффициенты ci}k, входящие в нормальную форму (5.36) членов четвертого порядка в новой функции Гамильтона, имеют следующие числовые значения:
с200 = -1,92495045, с02о = -1,94195756, с„02 = -1,28232557,
Сц0 = -14,2446161, ст = -11,8222486, с011 = 3,13444410.
С точностью до величин третьего порядка малости старые переменные q, р выражаются через новые q*, р* согласно формулам
™0^2, р« = р.<Я+«Ь13JP!) о _ 4,2,3).
(5.37)
Замена переменных, обратная (5.37), с той же точностью задается формулами
,.ф _ у> + мфй., „.1,2,3).
(5.38)
Таким образом, мы нашли вещественное каноническое преобразование q, рq*, р*, приводящее функцию Гамильтона (5.10), описывающую движение космического аппарата относительно точки либрации Ь2, к нормальной форме, содержащей величины до четвертого порядка малости включительно относительно | q* | , | р* j и е. Это преобразование схематически выглядит так:
1) Ч> Р Ч* і р” (линейное преобразование, приводящее к нормальной форме квадратичную часть гамильтониана; см. формулы (5.21), (5.22) и (5.24), (5.25)); 2) q", р"-* q, р (исключение из функции Гамильтона членов третьей степени относительно координат и импульсов; см. формулы (5.31), (5.32)); 3) q, р -> q*, р* (нормализация совокупности членов четвертой степени; см. формулы (5.37), (5.38)). Согласно указанной схеме, исходные величины qi і), pi1) легко вычисляются по известным значениям р*(і)
и наоборот.
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 14
Таблица 22
Индекс коэффициента WKitckikM. Числовое значение коэффициента Индекс коэффициента wklklkskiktHt Числовое значение коэффициента і " a j А.". а / f я
000400 2,46578791 200020 —4,14054944
001300 —6,22916787 110020 —7,76555006
002200 7,40002310 101020 3,31568348
003100 —1,75750231 100120 —2,22664160
004000 —0,854524547 020020 0
010300 2,83818588 011020 —4,86^55316
011200 —3,83448225 010120 23,8357405
012100 —0,666860651 002020 7,62697715
013000 2,19926340 001120 —6,47068885
020200 0 000220 2,99802101
021100 2,79546129 200011 4,25989016
022000 —2,03262786 110011 2,52974784
030100 —0,553699999 101011 1,79582987
031000. 0,626876590 100111 —7,29668759
040000 0,152090730 020011 —19,1640094
100300 —4,85997365 011011 —4,55248672
101200 0 010111 1,79533475
102100 —14,6378177 002011 7,31181418
103000 5,30365267 001111 —9,58863702
410200 —10,3586362 000211 —22,8039819
411100 16,7556303 200002 0,377834646
112000 —2,73595364 110002 —3,40772282
120100 —2,63136014 101002 0
121000 —16,5677667 100102 —1,14285015
130000 —0,150633933 020002 —0,337515709
200200 2,49039403 011002 —1,73401731
201100 —15,7881069 010102 —18,3902492
202000 0 002002 1,63710322
210100 8,92716071 001102 —3,88366484
211000 —10,8033415 000202 1,39515361
220000 2,96865583 000040 0,991848859
300100 —0,925745462 000031 —0,395325819
301000 3,89169338 000022 0
310000 —1,61978834 000013 0,880384132
400000 0,272267629 000004 0
5.5. Общее решение нормализованной системы. Условнопериодические движения. В переменных q*. р* функция Гамильтона с точностью до величин четвертого порядка малости относительно I q* |, | р* | и е запишется в виде
Н* = Aj (q*Wp*<-1'>) + Л2р* + А3р* + с2оо (<7*(1)р*(1))2 + СогорГ +
+ СоогРз2 + сио (q*wp*w) р* + с101 (q*wp*w) pt + с°пР?Рз
(5.оУ)
(q*U) = Y2р* sin ф;, р*Ы = V 2р* cos ф7- (/ = 2, 3)).
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ КА
293
Общее решение соответствующей системы дифференциальных уравнений определяется формулами
д*(1) = Яо(1) exp cpf, p'W = р'а(1) exp (— фГ), (5.40)
g.(j) _ У2р* Sin ф*5 р.<j) _ У2р* cos ф* (/ = 2,3), (5.41)
Ф* = coi(v — v0), Ф* = ша (v — v0) + Фм, Ф* = ш3 (v — v0) + ф*о.
(5-42)
®і = Лі -)- 2с2оо (Яо^Ро'1^) “Ь сиоРго “Ь сюірзоі
(02 = Л2 + 2со2оРго + соиРзо + спо (Яо^Ро^)і (5.43)
» , о * і »(і) »(1) I *
<*>з = Лз + 2с0огРзо + cioiQo Ро + соиРго-Через v0 в (5.42) обозначено значение истинной аномалии v в начальный момент времени t = t0. Величины g*w, р*(1\ Pjol5> cp*o (j = 2, 3) играют роль произвольных постоянных интегрирования.
Общее решение (5.40) — (5.42) вместе с формулами нормализующих преобразований и координатных переходов позволяет для любого момента времени получить приближенные значения координат и компонент вектора скорости космического аппарата в абсолютной системе координат.
Движение космического аппарата в окрестности Ь2, в силу существования в общем решении экспоненциально возрастающих функций времени, неустойчиво. Но если начальные условия выбрать так, чтобы
= р*Ы = 0, (5.44)
то, согласно (5.40), (5.41), движение космического аппарата вблизи Ь2 будет условно-периодическим (в рамках рассмотренного приближения). Если же начальные условия таковы, что выполняется только одно из равенств (5.44):
<7*(1) = 0, (5.45)
то движение космического аппарата также будет происходить вблизи Ь2, а с увеличением t оно будет асимптотически приближаться к условно-периодическому движению.
