Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 42. Искусственный спутник связи в системе Земля — Луна.
266
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2
[ГЛ. 14
Но траектории КА, не покидающие окрестности Ь2 (например, условно-периодические траектории), неустойчивы. При малых отклонениях начальных данных от многообразия условно-периодических траекторий КА, вообще говоря, начинает экспоненциально быстро удаляться от точки L%. Условно-периодическая траектория может служить лишь опорной траекторией, в окрестности которой движение должно поддерживаться с помощью активной системы управления. Величина энергетических затрат на поддержание движения вблизи Ьг существенно зависит от точности определения многообразия условно-периодических траекторий.
Решение последней задачи методами численного интегрирования строгих уравнений движения неэффективно. Однако, используя теорию возмущений, можно получить приближенное аналитическое описание многообразия условно-периодических траекторий. По-видимому, к настоящему времени с наибольшей полнотой поставленная задача рассмотрена в работе [133]. Этой же задаче посвящена и настоящая глава книги. Примененный метод построения условно-периодических (и всех возможных других) траекторий вблизи Ь2 основан на проведении ряда последовательных канонических преобразований переменных, приводящих функцию Гамильтона задачи к нормальной форме, для которой начальные условия, обеспечивающие различные (например, условно-периодические) тразктории, находятся весьма просто. Проведенные в настоящей главе построения могут быть положены в основу теории пассивного движения КА вблизи Ь2.
§ 2. О траекториях линеЁной задачи
Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех тел Земля — Луна — КА. Линеаризованные в окрестности Ь2 уравнения движения КА запишутся в системе координат L^yz в таком виде (см. главу 1) :
х — 2у — (1 + 2А2) х = О, у + 2х — (1 — А2)у = 0, (2.1)
z + A2z = 0.
В уравнениях (2.1) точкой обозначено дифференцирование по переменной т = nt (п — среднее движение Луны, п = 0,22997 рад/суш), за единицу длины принято расстояние между центрами масс Земли и Луны, равное 384 405 км, а величина А2 вычисляется по формуле
Лг = [(ГПГ7 + (z + p-if ¦ (2,2)
В последнем выражении ц — 0,012150о683, что соответствует отношению масс Земли и Луны, равному 81,3 (это отношение масс
ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ
267
принято всюду в настоящей главе). Через | в формуле (2.2) обозначено безразмерное расстояние от центра масс Земли и Луны до L2; величина | (? 1 — ц.) является корнем уравнения
% _ 1 ~ Iх________Iх — О <2
s K + i*)* ;(? — 1 + V1)2 к ’
Характеристическое уравнение системы (2.1) имеет вид
(V + А2) [А,4 - (А2 — 2) Я2 — (2А2 + 1 )(А2 - 1)) = 0. (2.4)
Так как А2 > 1 (см. главу 1), то уравнение (2.4) имеет два действительных и две пары чисто мнимых корней ± ± іХ2, ± іХ3.
Из-за существования корней ± точка либрации Ь2 неустойчива. Величины Ях и Х2 определяют движение КА в плоскости орбиты Луны (плоскость Ь2ху), а Я3 — движение по нормали к ней. В дальнейшем все величины Хк считаем положительными:
А, — 2+У9А*-8Ац „ л/ 2-А2+У9А%-8А2
V --------—2 --------’ Ъ= '
Яз = УА^ (2-5)
Для принятого отношения масс Земли и Луны, равного 81,3, числовые значения величин Хк таковы:
А* = 2,15867362, Я2 = 1,86264545, Я3 = 1,78617573.
Общее решение системы (2.1) имеет вид
х = аг sin Я20 + а2 cos Я20+а3 expЯ10 + а4ехр(—7^0),
у = — у2 (a2sin Я20 — ax cos_A20) + (а3 ехр Ах0 — а4ехр (— ^0)),
z = sin А30 + р2 cos А30. (2.6)
Здесь использованы следующие обозначения:
0 = п (t — t0)
(t0 — произвольный начальный момент времени),
= 2-^2 = 2Х^^2 2А2 -(- 1),
«г, рг — произвольные постоянные, значения которых определяются начальными данными х0, у0, z0, х0, у0, z0 в момент времени ?0:
„ 7i*o ^1*0 „ Y1^1*0—У о
°i — > Ог— —
^27і ^і7г ' ^і7і + ^27г
a _ 1 / 72^2д0 ~Ь У0___72*0 — Х2у0 \
2 \ + Х272 X2Yi—^і7г ' ’ f2 7’)
a _ J_ / 7гУо + Уо , 72*o — hVo \ ^ ' ’
2 \ Xi7x -)- X2y2 >.27i — ^і7г / ’
&=¦?-, P2 = 20.
268
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 14
Если начальные данные таковы, что а3 = а4 = 0, то движение КА в линейной задаче будет условно-периодическим. В проекции на плоскость L^xy траектория КА представляет собой эллипс с центром в точке L2 (см. рис. 43). При этом в зависимости от значения Ау = у2Va\ + а\ получаются различные по размерам эллипсы, у которых отношение большой полуоси, ориентированной по оси Ь2у, к малой полуоси, ориентированной по оси Ь2х, равно
уг = 2,9123.
Если для проведения космических операций требуется обеспечить видимость КА из наземных пунктов, то КА не должен находиться в самой точке либрации Ьг или в непосредственной близости от нее. В окрестности точки Ьй существуют зона полного затенения и зона частичного затенения КА Луной (для земного наблюдателя). На рис. 43 показаны траектория движения КА в плоскости LiXy и проекции зон затенения на эту плоскость. Траектория движения в плоскости Ь,ху является периодической с частотой },2, равной в размерных единицах 0,42835 рад/сут. (соответствующий период равен приблизительно 14 сут). Зоны затенения на рис. 43 обозначены цифрами 1 и 2. В проекции на плоскость LAyz зоны затенения представляют собой круги с радиусами примерно і?! = 960 км и R2 = 3100 км. При этом, если КА находится в зоне полного затенения (зона 1), то он не будет виден ни из одной точки земной поверхности, а вне зон затенения КА будет наблюдаем из любого наземного пункта одновременно с Луной. Если в плоскости Lxxy КА движется по эллипсу с большой полуосью Ау 3100 км, то будут существовать участки траектории, находящиеся в зоне прямой видимости из любой точки земной поверхности, из которой видна Луна. На этих участках траектории могут проводиться траекторные измерения, управление движением КА, осуществление сеансов радиосвязи между Землей и обратной стороной Луны и т. д.
