Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Проведем нормализацию й^. Для переменных р(3)
нормализующая замена переменных имеет вид
q& = -±=г рЮ = У% Р'(3)• (5-21>
У ^3
Нахождение канонического нормализующего преобразования для переменных qM, pw (і = 1, 2), соответствующих плоской задаче,
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
285
более сложно. После проведения некоторых вычислений (см. работу [39]) получим, что преобразование p(i) —> р" '
(і)
(? = 1,2), приводящее к нормальной форме часть гамильтониана соответствующую плоской задаче, имеет вид
(5.22)
где элементы bij симплектической матрицы В0 вычисляются по следующим формулам:
Ьц = — Xj [A*1 -f- (А2 — 1)], &J2 = 2к2Х2, &13 = Ьц, Ьц = О,
g(D q’M
g<2> = Bo q'W
~PW p'( 1)
p<2) Р'Ю
^21
2%!^!, &22 = О, ъ.
23
J2H
х2 [^2
(2 А2
Ьзі = — Хі^і [^1 -f- (А2 -f- 1)], &32 = О,
6з4 = — Хг[А,2 — (2 А% -f- 1)],
Ьц = ^1 [А<1 — (А 2 — 1)]) ^42 = ^2^2 [А*2
Ь 43 = — &41, 644 = 0.
В (5.23) введены такие обозначения:
1
X! =
y33 — у31,
(2А2 - 1)],
1)1,
(5.23)
V2Хг [(ЗЛ, - 4) %\ + (ЗЛ2 + 4) (Л2 - 1)]
_________________________1__________________________
У^2 [(ЗХ2 + 4) X2 + — 4) (2 + 1)]
После проведения преобразований (5.21) и (5.22) нужно при помощи канонической, 2я-периодической по v, линейной замены переменных q', р' —»¦ q", р" исключить из гамильтониана Н2 члены, содержащие эксцентриситет е с точностью до второй степени включительно. Нахождение этого преобразования совершенно аналогично соответствующим рассмотрениям глав 9 и 10, где подробно описана нормализация функции Гамильтона в окрестности треугольной точки либрации. Поэтому мы не будем здесь проводить подробных вычислений, а сразу приведем конечный результат. Замену переменных q', р' —»¦ q", р” можно представить в виде
j'W
?'(2)
>>
= [Е4 + е (sin vBt + cos vB2) +
+ e2 (B3 + sin 2vB4 -f cos 2vB6)]
j"( і) j"(2) p»(l) n»(2)
(5.24)
28.6
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 14
?/(3)
„/(3)
= [Е2 + е (sin vCx + cos vC2) 4-
4- e2 (C3 4- sin 2vC4 4- cos 2vCs)]
?*(3)
,»(3)
(5.25)
Здесь E4 и E2 — единичные матрицы соответственно четвертого и второго порядков, Bfc и Ск (к = 1, 2, . . ., 5) — постоянные матрицы также четвертого и второго порядков. Нормализованная до членов порядка е2 включительно квадратичная часть функции Гамильтона Н2 имеет вид
H2(q", р") = Л19"(1У(1) + -j- Л2 (q"<V + p'W) + ^-Л3 (д'(» 4- р"(•)),
(5.26)
где Л у = kj 4- e^xf. Величины а также элементы матриц В0 и Bjf, Cjj (к = 1, 2, . . . , 5), вычисленные для значения [г = = 0,0121506683, соответствующего отношению масс Земли и Луны, равному 81,3, таковы:
1
Я») = 0,549275266, = 0,245751053, X)?’ = 0,249484559.
|(2)
(а)
—0,441793230 0,278436861 —1,23212425 0,159261077
-1,61042025
-0,093429932
-0,064705657
-0,089648965
0
—0,034700492
—0,279356790
-0,367549695
1,29453757
0,069620286
0,120855186
0,103126810
Матрица В0
—0,290634525 0,441793230
0,278436861
0
0
1,28610071
-1,23212425 -0,159261077
0
—0,846503150
0,305154074
0
—0,093429932
—0,387921081
0,093429932
0
Матрица Вх
-0,089648965 0,064705657
0 —0,093429932
—0,089648965 1,61042025
0,558216979 0,089648965
Матрица В2
0,367549695 —0,279356790 0,034700492 —0,317200880 0,034700492 0
—0,367549695 0 0,034700492
0 —0,367549695 0,317200880
Матрица Вз
-0,0668728327 0,120855187 0,026678130
0,051513305 і—0,069620286 0,003762514
0,0668728327 0,034737568 0,026678130
-0,003762514 0,103126810 —0,113855431
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Матрица В4
0,274636443 0,0239035671 —0,244147749 —0,108404225
0,017572613 0 0,017572612 0,191343298
0,244147749 0,0239035671 —0,274636403 0,108404225
0,295323986 —0,0544046576 —0,295323986 0
Матрица В5
-0,638371620 —0,004501406 0,007754370 —0,019939662
—0,075045546 0,114650294 0,075045546 0
0,007754370 0,004501406 —0,638371620 —0,019939662
—0,045662155 0 —0,045662155 0,02279992
Матрица Сх
О —0,665292157
0,561028239 О
Матрица С2
0,186233680 О II
О —0,1862336801
Матрица С3
—0,154478806 О
О —0,0148035460
Матрица С4
О 0,0985296863I
—0,150954873 0 ||
Матрица С5
0,0468202978 О
О 0,157145038
Подробное описание вычислительной процедуры получения нормализующего преобразования (5.24), как и всех следующих ниже нормализующих заменах переменных, имеется в работе [39].
Таким образом, мы получили (с точностью до е2) каноническое преобразование q, р —» q", р" гамильтониана й2 к нормальной форме (5.26).. Это преобразование задается формулами (5.21), (5.22), (5.24) и (5.25). Обратное преобразование легко получить, вычислив соответствующие обратные матрицы.
5.3. Исключение членов третьей степени относительно координат и импульсов. После нормализации квадратичной части й2 новая функция Гамильтона Н" с точностью до величин четвертого порядка малости относительно | q" |, | р" | и е запишется, как
288
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Ь2
[ГЛ. 14
легко проверить, в виде
Н” (q's р", м)=н\ + я;(0)+е (sin vG3 + cos vF3) + Н\(0). (5.27)
Здесь Н2 есть функция (5.26), Н30) и Я4(0) — это функции и в которых переменные выражены через q"^, р"{1)
при помощи матрицы, задающей преобразования (5.21) — (5.22). Формы третьей степени G3 и F3 в (5.27) не зависят от v, а переменные д"<3) и р"^ входят в них только квадратичным образом.
