Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 98

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 106 >> Следующая

Рис. 47. Точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида.
Потенциал такого эллипсоида на внешнюю точку задается формулой Дирихле [24]
¦т\ (і-
ds
где / - гравитационная постоянная, а и уравнения
у (а2 -(*- s) (63 + s) (с2 + s)
{1.2)
- положительный корень
я'2 4- і
+
?>! + и
+
с2 и
1.
(1.3)
Пусть эллипсоид мало отличается от однородного шара радиуса і? и имеет объем, равный объему этого шара. Тогда
а2 = д2 + а', ъ2 = R2 + Р', с2 = R2 |- а', (1.4)
где а', Р' и сг' — малые по сравнению с R’2 величины, которые в силу равенства объемов эллипсоида и шара удовлетворяют с точностью до малых более высокого порядка соотношению а' + + у' = 0- Разлагая потенциал (1.2) в ряд по степеням а\ Р', у', получаем выражение для потенциала притяжения эллипсоида в виде.
fM
и ?/-
„ - + (4-5) Здесь не выписаны члены более высокого порядка относительно
300 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА [Д
а', Р', of', а через р обозначено расстояние от материальной точки до центра масс эллипсоида.
Для дальнейшего удобнее рассматривать уравнения движения в безразмерных переменных. Положим
т = со*, | = х-ао1, т] = у'ай1, I = z-яД
где аосо2 = fM. Введем еще вместо трех малых величин а', (У,
от' один параметр е (0 <^є 1), связанный с упомянутыми вели-
чинами соотношениями
3 3 Р' о 3 3' /а а\
Ю а2 — еа’ 10 а2 _ еР’ ю а2 _ ^
“о “о о
В новых переменных уравнения движения (1.1) запишутся в виде
d% р dp р _ ОУ
йт2 йт 6 — ’
+2^--Т1=— (1 7\
t/T Л 9г) ’ ( • /
d% _ dV
где
dTfi dt, ’
F = ^ + ea^2 + ^ + gg2 +..., г» = E* + Tf + с*. (1.8)
§ 2. Точки либрации
Найдем положения равновесия системы (1.7), которые определяют координаты точек либрации Pt (і = 1, 2, 3, 4) в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида. Из (1.7) получаем, что положения равновесия должны удовлетворять такой системе уравнений:
W , t л W , л л /о
+ Б — 0, 9т) + т] — 0, — 0. (2.1)
Используя равенства (1.8), перепишем эту систему в виде
°g + ty±°tM + ...]=o, ^+М±?2.)+ ...]= о, (2.2) »?, + ei,+«;’ j +... J = о.
Из последнего уравнения системы (2.2) видно, что при достаточно малых значениях є она может иметь только такие решения, для
СО • Г -5
л - -J-+ л | X* -5
+ ч|г 1 XS -5
§ 3]
ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
301
которых С = 0. Положив в (2.2) величину ? равной нулю, получим для нахождения координат точек либрации систему двух уравнений
которая при малых є имеет четыре решения, определяющих координаты четырех точек либрации Pt. Имеем
Точки либрации лежат на продолжениях большой и малой полуосей экваториального сечения эллипсоида симметрично относительно его центра масс. Схематически они изображены на рис. 47.
§ 3. Линейный анализ устойчивости точек либрации
Исследуем устойчивость полученных точек либрации. Ввиду симметрии можно ограничиться рассмотрением одной из точек, например Рг. Рассмотрим сначала устойчивость в линейном приближении. Положим
где ?0, т]0, Со — координаты точки либрации Рг, определяемые формулами (2.4). Линеаризованные уравнения движения запишутся в виде
Характеристическое уравнение системы (3.2) — (3.4) распадается на два уравнения: одно четвертого, а другое второго порядков::
Xі + [1 - 2є (2а + р) + ...] X2 + 6е (Р - а) + ... = 0, (3.5)
Из (3.5) и (3.6) получаем, что если а <С Р, то для достаточно малых
(2.3)
¦Pi : ?о — 1 + еа + ... ,
Рг : 1о = 0,
^Рз •• So = — 1 — еа — ••• .
Рх : to = 0,
Рг
і
Л о = о,
т]о = 1 + єр + ... , г}о = 0,
т]о = — 1 — еР — ... ,
Со = 0; Со = 0;
Со = 0;
Со = 0.
(2.4)
1 — to + ?і> Л — Ло + С — Со + <7з> (3.1)"
(3.2)
(3.3>
(3.4)
+ [2є (а — Р) + ...] <72 = 0,
¦jjr + [1 + 2е (а — а) + ...] q3 = 0.
X2 + 1 + 2е (а — <т) + ... =0. (3.6)
302 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА [Д
е характеристическое уравнение имеет три пары чисто мнимых корней:
Ai,2 = + tolt Я3>4 = + т2, Я5>6 = + т3, (3-7)
где И; —частоты малых колебаний материальной точки вблизи Pt:
«і = 1 + є (а — 4р) + а>2 = У 6е (р а) + ... , ф3 =
= 1 “Н е (а ¦— tf) -|- ... (3.8)
Если же а р, то при достаточно малых є один из корней характеристического уравнения будет вещественным положительным числом Я = ]/^6е (а — р) + ...
Таким образом, в случае выполнения неравенства а р {т. е. точка либрации Рх (а также и точка Р3) расположена на
продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида) линеаризованная система (3.2) —
(3.4) устойчива, а значит, для полной нелинейной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения выполнены необходимые условия устойчивости. В случае же, когда а р (т. е. точка либрации Рг (а также и точка Р3) расположена на продолжении большой полуоси экваториального сечения эллипсоида), линейная система (3.2) — (3.4) неустойчива, а также неустойчива по Ляпунову и полная нелинейная система уравнений возмущенного движения.
На рис. 48 в плоскости параметров еа и ер показаны область /, где выполнены необходимые условия устойчивости точек либрации, и область //, в которой точки либрации неустойчивы по Ляпунову (на рис. 48 принято | еа | <[ 0,1 и | ер | <[ 0,1).
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed