Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Каноническое преобразование q", р" —> q, р, исключающее из гамильтониана (5.27) члены третьей степени
#з<0) + « (sin \G3 + cos vF3),
зададим при помощи производящей функции вида
S = (q", Р) + W3 (q", р) + е [sin \К3 (q", р) + cos уГ3 (q', р)]. (5.28)
Структура форм W3, К3ш Г3 аналогична структуре форм G3 и F3. Подберем их так, чтобы в новой функции Гамильтона Н отсутствовали члены третьей степени относительно qW, рїї.
Из тождества, связывающего новую Н и старую Н" функции Гамильтона с производящей функцией S канонического преобразования, получим три уравнения относительно W3, К3 и Г3:
DW3 = НТ\ DV3 = К3 + F3, DK3 = - Г3 + G„ (5.29) где через D обозначен следующий оператор:
D " (pl4Ijnr- •?'"^IT) + г-(«л>-ф»-р'''-фя) +
+4qV’^-pm^)- (5'30)
В формах Н3°\ F3 и G3, входящих в (5.29), величины p”W заменены на pW.
Приравняв в обеих частях уравнений (5.29) одночлены при одинаковых степенях получим систему линейных
алгебраических уравнений для определения коэффициентов искомых форм W3, К3 и Г3. Из-за того, что q"M и р<3> содержатся в я;<0), G3 и F3 квадратично, многие из коэффициентов форм W3, К3 и Г3 будут равняться нулю. Коэффициенты форм W3, К3 и Г3 были вычислены на ЭВМ.
Каждую из этих форм зададим в виде суммы
S
где суммирование ведется по целым неотрицательным числам kt, сумма которых равна трем. Числовые значения коэффициентов
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
298
Таблица 21
Индекс коэффици-ента Iff Числовое значение коэффициента
в форме Ws В Форме Кг В форме Га
000300 0,746583163 0 0,565777617
001200 —2,200475216 —4,21598988 —0,880868731
002100 0,784525932 2,76719842 0,746392105
003000 0,085276911 0,476844592 —0,092220428
010200 0 2,08944869 0
011100 1,489351118 —0,041403661 0,617559866
012000 —0,839003171 —1,96308889 —0,789252689
020100 —0,208836809 0 —0,229043264
021000 —0,463353884 0,284907670 0,303335836
030000 0 0,118217723 0
100200 —2,200475216 4,21598988 —0,880868731
101100 3,470378379 0 3,40582548
102000 —2,275945950 —3,17134578 —1,38332186
110100 —1,489351118 —0,041403661 —0,617559866
111000 0 3,07303700 0
120000 —0,463353884 —0,284907669 0,303335836
200100 0,784525932 —2,76719842 0,746392105
201000 —2,275945950 3,17134578 —1,38332186
210000 0,839003171 —1,96308889 0,789252689
300000 0,085276911 —0,476844592 —0,09220428
100020 —1,725855874 3,41495947 —0,361180392
010020 0 2,14279121 0
001020 —1,725855874 —3,41495947 —0,361180392
000120 0,650519542 0 0,398125980
100011 1,205447559 —0,960237641 0,254325223
010011 1,486767095 0 1,15838060
001011 —1,205447559 —0,960237641 —0,254325223
000111 0 0,556735971 0
100002 —0,997437105 0,573897516 —0,476295743
010002 0 0,087794522 0
001002 —0,997437105 —0,573897516 —0,476295743
000102 1,425728815 0 1,15795834
приведены в табл. 21. Невыписанные в табл. 21 коэффициенты форм W3, К3 и Г3 равны нулю.
Связь между новыми переменными q, р и старыми q”, р" с точностью до величин третьего порядка малости относительно ! Ч* I * I Р* | и е задается формулами
,dw3 дк3 аг3 , \V aw, dw3
Я —Я------Г^ТЇч-----esin V-—гтг- — ecosv —тфг 4- > - т^ТТР ’
дрМ др^ дрм LmX dp^dq(3) dpw
„"(») _ ?,(') і dWз , . дКя , ЭГ, J_1
p ~p +1?»+esInv1# + '!cosv-5jTO--
ws dW* . n 04
з
290 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ ?2 [ГЛ. 14
Здесь в формах W3, К3, Гя вместо аргументов q" стоят величины q. Обратное преобразование с той же точностью запишется в виде
'(’) »(») і dW3 . дК3 ЭГ3
Q — Q А-----------+ е Sln v------ТТ + е COS V---------------—
4 Н ~ др"^ ~ др"Ы др"М
vi aw, dw4
др"^др"'Я дд"Ы ’ (5_32J
'(і) „(і) dW3 . ЭК з дГ3 .
Рк ' = р к ’----------------^7------е Sin V----------рт- — е cos V----------------- +
У F dq"W dcj"M dq"^ ~
3 aw, ew
У-------JIljL (1 = 1,2,3).
Z-l dq’wdp"^ dq”0) v >
;=i
В этих формулах формы W3, К3, Г3 имеют своими аргументами переменные q", р".
5.4. Нормализация совокупности членов четвертого порядка. В переменных q, р, введенных в предыдущем параграфе, гамильтониан задачи с точностью до членов четвертого порядка относительно | q | , | р | и е будет таким:
tf = #;(q,p) + tff (q,p), (5.33)
где Н\ вычисляется по формуле (5.26), а Н40) имеет вид
я? - ит л р)+4 u [(j§-)* - +
«¦*>
В (5,34) Я3(0) и W3 — функции переменных q, р.
Теперь сделаем каноническую замену переменных q, р —» —> q*, р* при помощи производящей функции
5* = (q,p*)+VT4(q, р*). (5.35)
Коэффициенты формы четвертой степени Wi подберем так, чтобы в новых переменных q*, р* члены четвертой степени в гамильто ниане имели нормальную форму
/ * 2 * 2 \ 2 / * 2 . 2 \ 2
* , * I а & 4- о <2> \ / о <3) 4- D*<3) 1
Я(») = СіооІЯ Р*( )2 + со2о ^-------2---- J “I-,соо2 ^---—2--------) +
+ Сц.(У<'У»|)(-^(*1 + ,-> ) + »ш(5-«УМ) ( " <Я2 ” В> ) +
+ + (5.36)
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
291
В (5.36) величины сгд- — константы, являющиеся инвариантами исходной функции Гамильтона относительно канонических преобразований. Процедура нахождения формы W4 и коэффициентов Cjjk нормальной формы (5.36) весьма стандартна (см. преобразование Биркгофа в § 1 главы 3), и потому мы здесь на ней не останавливаемся. Форму Wi будем представлять в виде такой суммы:
