Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ
279
дифференциальное уравнение для вектор-функции х
Iг, Iі5- + 21І трі Ж + 21 г. Iа [о. 4г ] +
+ 2|r1|i^|n,*] + |rI|"[^-,*]+|r1|^jiL* +
4* | ri |2[^i ]] -|- (Ф -|- Фх -j- Ф2) а — (1 -|- р) а* = 0. (4.1)
І гі I
Для приближенного вычисления вынужденных колебаний КА пренебрежем нецентральностью гравитационных полей Луны и Земли, а также всеми негравитационными возмущениями, положив в (4.1) величины а и а* тождественно равными нулю. Орбиты Луны и Земли будем предполагать круговыми. Продолжительности сидерического и синодического месяцев примем соответственно равными 27,3216614 и 29,5305887 сут [23]. Это соответствует таким средним угловым скоростям Луны и Земли: п = = 0,229970836 padlcym и п’ — 0,0172021243 рад/сут. Отсюда
т = п'/п — 0,0748013296.
Большие полуоси (в нашем случае радиусы) орбит Луны и Земли примем соответственно такими: а = 384 400 км, а' =
= 149 600 000 км. Следовательно, отношение больших полуосей орбит Луны и Земли имеет такую величину: — =
= 0,00256951872 = 0, 459 т2.
Перейдем к независимой переменной т ~ п (t — t0) и разложим левую часть уравнения (4.1) в ряд по степеням компонент вектор-функции х. Тогда, сохраняя для дальнейшего только свободные члены и члены, линейные относительно и учитывая сделанные выше предположения, получим из (4.1) линейное уравнение
I* + 2 [n, - J*-] +[ П, [О, и]] + А2 (х - 3R, (х, Кг)) =
= j Р(! + р)т2^г [ущ-| (5cos2cp! + 3) — 4R1C0S(p1J . (4.2)
В коэффициентах левой части уравнения (4.2) отброшены величины порядка т2 и выше, а в правой части сохранены только главные члены, определяющие вынужденные колебания, и отброшены величины порядка пг2 (а/а')2 и выше. Вектор Q в (4.2) таков, что І2Т = (0, 0, 1). Через срг в (4.2) обозначен угол <рг = X — X', где X и X' — средние долготы Луны и Солнца в орбите [23]:
¦ X (t) — х X (tg), X' = тх -j- %' (to). (4.3)
Нетрудно проверить, что
R2
I | = (cos фх, — sin фь — sin і sin ф2), (4.4)
280 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
где і — наклонение плоскости орбиты Луны к эклиптике (і = = 0,0898020382), а через ф2 обозначен угол А/ — ?2, где ?2 — долгота восходящего узла орбиты Луны, причем [23]
Й(0 = - |т2т+ ?(?„). (4.5)
В координатной форме уравнение (4.2) запишется в виде
dV1) 0 dx® /о л , m ~dtl ~dx~ ~ ( 2 ) =
= Р (! + Р) т2 (3cos ф! + 5 cos Зфі). dx( , 2jU_-----------(!— Л2)х^)= —-f-p(1 +р)т2(-^-)(зіпф1 + бзіпЗф!).
+ il2X<*> =
dx2
dV3>
= — |-р(1 +9)тп2 (-j^J sini[68Щф2 + 5 8Іп(2ф1-)-ф2) — 58Іп(2ф1—ф2)].
(4.6)
Для отношения масс Земли и Луны, равного 81,3, имеем р = 0,167833148, Az = 3,19042360.
Вынужденные колебания в линейной системе (4.6) находятся очень просто. Получаем такие значения для х(^ (в км):
х(1> = —0,06 cos ф! — 0,43 cos Зфь
х(2) = —0,39 sin фх + 0,80 sin Зфі, (4.7)
х(3) = —0,07 sin ф2 + 0,34 sin (2фі ф2) + 3,5 sin (2фі — ф2).
4.3. Вынужденные колебания КА, обусловленные силами светового давления. Аналогично можно вычислить вынужденные колебания КА вблизи «подвижной точки либрации», вызванные силами светового давления Солнца.
Потенциал К (см. п. 3.1 предыдущего параграфа) возмущающих сил светового давления имеет вид
К = є | г2 — г | , (4.8)
Где є = (Flm) yq0, F и тп — характерная площадь поперечного
сечения и масса КА соответственно, величина у характеризует отражающие свойства поверхности КА, q0 — величина светового давления на орбите Земли, q0 = 0,441315-Ю”5 кг/(м-сек2). Для дальнейших расчетов примем отношение Flm равным 0,05 м2/кг, а величину у считаем равной 2 (т. е. поверхность КА считается зеркально-отражающей).
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
281
Проведя последовательно преобразования пп. 3.2—3.5, 3.7 и
4.2, получим уравнение (4.1), в котором
« — (4-9> Величина а* в уравнении (4.1) полагается равной нулю, так как величина Flm для Луны пренебрежимо мала. Это означает, что влиянием светового давления на орбиту Луны мы пренебрегаем. Проведя выкладки, аналогичные выкладкам предыдущего пункта, получим, что обусловленные световым давлением вынужденные колебания КА вблизи ’одвижной точки либрации» приближенно описываются линейным дифференциальным уравнением (4.2), если правую часть последнего заменить на вектор-функцию e/<m2*R2/[ I • При этом отброшенные в правой части члены будут примерно в (а/а') раз меньше оставленных.
Вычисления показывают, что при сделанных предположениях вынужденные колебания записываются в виде (амплитуды пересчитаны в км)
= 2,22 cos tp1; = —43,46 sin cp1; = —1,75 sin cp2.
(4.10)
Проведенные оценки дают возможность выявить наиболее существенные факторы и отбросить второстепенные. Для целей предварительного анализа траекторий движения КА в § 2 была использована простейшая модель линеаризованной в окрестности L2 круговой ограниченной задачи трех тел. Для более точного описания пассивного движения КА необходимо в первую очередь учесть нелинейность задачи по отклонениям от равновесной точки и эллиптичность орбиты Луны. В следующем параграфе будет рассмотрена нелинейная задача о движении КА в окрестности Ь2 в рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел (Земля — Луна — КА) без учета возмущающего влияния Солнца и других внешних факторов. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Ее решение можно положить в основу алгоритма расчета пассивного движения КА в окрестности L2-
