Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем осуществлять подстановку (3.45), преобразуем некоторые члены уравнения (3.34). Используя (3.29) и (3.45), можно получить следующее представление:
‘ Ч- R. ф- (3-48)
— Л-і
где
1Ш3 (i„+'p)2|Ril3
¦і(і~та5)"1,1 (*+¦?¦) tkf+Фі’ <3,49)
ф = W + (1 + ?<-v (лГШщ]Тр'^ <3-5°)
П=1
оо
ф‘ -4‘[jHT^F + S'-1*”(тИЙгГ<*>]• <3-51>
П=1
(и, Rj)
| у, 1*1 Ri| • (3-52)
Далее преобразуем в уравнениях (3.34) и (3.44) члены, описывающие солнечные возмущения. Имеем
х = - - т^г) - X, + X. (3.53)
10*
276
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Ь2
[ГЛ. 14
где
Х° = I 1*2 I3 (^ _ 3 (Г1| 2 ) ’
* = ~ТїЙїї[іЖіX(тйт) Pn+1 (Z4) “ rilS("Rr) Pn^Zi) 1'
n=2 n=l
(3.55)
<-we>
Аналогично,
Y = — k-i ( I r2—Rt p — I R213) = + Y, (3.57)
<3-58>
ї= літр[tbJt ?(ттїгг) р,,*,<г,)-тет1!Дттет) Рп*‘ы]'
п—2 п—і
(3.59)
25 = тктмйг ¦ ^3'60^
Из соотношений (3.53) — (3.60) следует, что X можно представить в следующем виде:
x = (i + p)Y + o2, (3.61)
где
k‘i L, q (*> ^г) Кг '
*г|3Г PVTF
Подставим теперь і) и | в виде (3.45) в уравнение (3.33). В результате получим
(1 + р) |[^> Ril ]77F ^*1 ^ х^ —і г. I2 а = (3-63)
Из (3.43) следует, что фигурная скобка в (3.63) тождественно равна нулю. Поэтому из (3.63) получаем такое уравнение:
тг + [“¦ *1 —ЇТ7Р 0 “ °- вМ)
Преобразуем теперь уравнение (3.34), используя представления (3.48), (3.49) и (3.61). Получаем
{(! + Р) [4г + [Q’ Vl] + I Ri + “*] +
+ i^Li + p^kp+^t1 + т?т+ (1 +р) Y]} +_5г+ [й’а] +
+ I ri I —* + | Гі | (Ф + Фі + Фг) + а — (1 + Р)а* = (3-65)
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ
277
Если р удовлетворяет соотношению
<3'66)
то, согласно (3.44), фигурная скобка в (3.65) обращается в нуль и тогда получаем уравнение
do , ill 1«Р|*Ч| і -_ + [О,0] + |г1|-^г-и +
+ |7jf (Ф + Фі + Ф2) +« — (!+ Р) «* = 0- (3.67)
Вместе с уравнением (3.64) это уравнение образует систему для определения вектор-функций ии а.
Отметим, что уравнение (3.66) после замены (3.47) переходит в традиционное уравнение (3.46), определяющее положение точки либрации Ь2 в эллиптической ограниченной задаче трех тел.
В результате проведенных выше преобразований задача определения движения в окрестности точки либрации в точной постановке сводится к необходимости последовательного интегрирования сначала системы уравнений (3.64), (3.67) (задача I), а после определения к (t), а (t) — к интегрированию системы уравнений с гамильтонианом Н3 (3.36) (задача II).
Фактически тем самым шестимерная задача сведена к задаче определения двенадцати функций: р, q, к, а. Однако задачи I и II неравноправны. При решении задачи I достаточно определить на рассматриваемом интервале времени произвольное решение с достаточно малыми | и | и | о |. А для задачи II необходимо иметь представление о поведении всех решений при достаточно малых
I Р I и | q |.
Из анализа уравнений (3.64), (3.67) и входящих в него соотношений следует, что если пренебречь в этих уравнениях членами порядка /с2/ | R2 | 4 и дополнительными возмущениями, то в качестве решений этих уравнений можно принять а = и = 0. В частности, такое решение точно существует в эллиптической задаче трех тел. Оценки близости главного приближения (о = х = 0) к решению уравнений (3.64), (3.67) проведены в следующем параграфе.
§ 4. Некоторые оценки
4.1. Оценки ускорений, действующих на КА. Для выбора и обоснования физической модели движения КА нам потребуется провести оценки реально действующих ускорений в окрестности точки Ь2 системы Земля — Луна. Воспользовавшись формулами
(3.36) — (3.39), можно оценить ускорения, вызываемые различ-
278
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ ?.
[ГЛ. 14
ными факторами в относительном движении КА, описываемом функцией Гамильтона (3.36). Эти ускорения зависят от величины | q|. Приведенные в табл. 20 числовые значения получепы для | q ) ~ 10-2, что соответствует орбитам КА, удаленным от точки L2 примерно па 4000 км.
Оценка для ускорения от сил светового давления получена для отношения площади поперечного сечения КА к его массе, равного 0,05 м21кг\ оценки влияния сжатия Земли, Луны и притяжения планет дают величину, меньшую, чем 10~10 м/сек2.
Таблица 20
Действующий фактор Порядок относительного ускорения КА (ж|тек*)
Притяжение Луны (~и3} 10-з
Притяжение Земли 10-і
Неинерциальность системы коор- 10-*
динат (~іф
Притяжение Солнца 10-°
Часть «косвенного» влияния Солнца К)-7
(~Р из К\)
Световое давление (~ К'-') 10~7
Для описания движения КА, кроме зависимостей q (t), р (t), необходимо найти решение уравнений (3.64) и (3.67), определяющих движение относительной системы координат. Эти уравнения имеют приближенное решение и = о = 0, которое мы называем «подвижной точкой либрации». Степень его приближенности определяется малыми ускорениями, обусловлейными влиянием Солнца ( ~ Ф2) и другими возмущениями (~ а и а*). Оценки показывают, что эти ускорения имеют порядок 10~6 м/сек2 для сил светового давления, 10~8 м/сек2 для сил гравитационного притяжения Солнца и они много меньше 10~10 м/сек1 для остальных возмущающих факторов.
4.2. Вынужденные колебания КА вблизи «подвижной точки либрации», обусловленные гравитационными солнечными возмущениями. Найдем частное решение уравнений (3.64) и (3.67), определяющее вынужденные колебания КА, близкие к «подвижной точке либрации». Аналогичная задача о вынужденных колебаниях в случае плоской задачи при учете гравитационных солнечных возмущений рассмотрена в работе [162]. Для проведения исследования вынужденных колебаний удобно исключить из уравнений (3.64), (3.67) величину о и рассмотреть получающееся при этом
