Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
б) Местная. Интерес представляют теперь различия между объектом и изображением в каждой точке изображения. Это приводит к более тонкому анализу дефектов изображения. Математический аппарат, необходимый для этого, становится значительно более сложным. При изучении исходят из свойств пятна рассеяния D(y', z'), ход'изменения которого всегда имеет следующий характер: максимум при y'=z' = 0, более или менее быстрое затухание при у'-> 00 и оэ. Изложим кратко ход решения.
Для простоты рассмотрим случай одного измерения:
+со
I(y')=0®D= J 0(y'-y)D(y)dy.
-oo Гл. 11. Приложения
259
Объект О, равномерно освещенный, дает равномерно освещенное изображение; можно выбрать такие единицы, что эти освещенности будут измеряться одним и тем же числом; для этого нужно, чтобы
+00
J D(y)dy= 1 .
—OO
Разность I — О тогда можно выразить интегралом
+OO
I-O= J [О (у'~ у)-О (y')] D (у) dy.
—OO
Величина разности зависит: в области, где D(у) является максимумом, — от величины О (х—у) — О (х) около точки у=0, т. е. от регулярности функции объекта около точки х\ вне этой области — от скорости затухания функции D(x). Эти рассуждения приводят к следующим интересным особенностям.
Г. Разность уменьшается, когда функции D быстро убывают. Если D убывает на бесконечности как 1/лга+!, то в лучшем случае можно достичь разности порядка URx, где R — предельная частота. Но скорость убывания D связана с регулярностью функции d(u), рассматриваемой на всей прямой (и изменяется ОТ--оэ до + оо).
Если d имеет разрыв первого рода (например, d постоянна между —R и +R и равна нулю вне этого промежутка), то D убывает как 1/лг, т. е. а=0 и разность не имеет никаких границ. Это следствие явления Гиббса; вблизи от точки разрыва функции О функция / представляет паразитные колебания, амплитуда которых не убивает, если увеличить R. Если функция d имеет особую точку, то D возрастает как Ux2 и разность будет порядка 1IR. Этот случай присущ большинству приборов, зрачок которых не имеет резких темных краев (освещенность не равна нулю в непосредственном соседстве с краями зрачка).
2°. Уточнение подобия между объектом и изображением имеет местный характер; другими словами, разность в некоторой точке зависит от регулярности функции объекта только в малой области, окружающей эту точку. Если,
\Т 260 *
Часть III. Влияние аберраций
например, функция объекта претерпевает разрыв первого рода (край равномерно освещенного поля), то имеется малая возмущенная область с той и с другой стороны точки. Интересующая нас область имеет некоторую протяженность, сравнимую с разрешаемым интервалом прибора (она может превышать ее в несколько раз); этот интервал можно уменьшить, увеличивая регулярность функции d. Это хорошо согласуется с объяснением появления дифракционных полос, окружающих все места резких изменений на объекте.
3°. Имеется «насыщение аппроксимации». Если-функ-ция D задана, то разность уменьшается с ростом регулярности функции объекта. Но это уменьшение не беспредельно; в этом и заключается насыщение. Насыщение уменьшают, увеличивая число производных функции d(u), равных нулю при и = 0. Не насыщаются только функции d, имеющие постоянное значение вокруг точек и=0, —это, впрочем, случай частичной когерентности при слабых контрастах (см. гл. 7, § 9). Для этих функций не существует нижнего предела разности. При этом объект и изображение идентичны. Здесь мы вновь находим результат, который получили, исходя из средней квадратичной разности. Необходимо отметить, что если функцию D искусственно поддерживать на положительном уровне, то нельзя получить d"(0)=0. Для классических оптических приборов всегда имеется насыщение аппроксимации. Или, точнее, на изображении всегда существует точка, где разность объект—изображение достигает величины порядка 1 /R2 при наилучших условиях.
4°. Теорема Бернштейна вносит в этот вопрос некоторую ясность. Там, где у функции объекта имеются производные более высоких порядков, значения которых выходят из пределов, определяемых теоремой Бернштейна, неизбежно возникает заметная разность, поскольку производные от изображения не могут превысить эти пределы.
Таким образом, разрыв первого рода всегда ведет к разности, значение которой составляет до половины величины разрыва функции объекта в непосредственном соседстве с ним; то же самое происходит в областях, где велики первые производные. Гл. П. Приложения
261
Оптимальная форма функции фильтрования. В случае, когда шум фона не играет определяющей роли в вопросе разрешения, определение оптимальной формы функции фильтрования зависит от выбранного критерия для оценки качества изображения. Если за этот критерий выбрать минимум средней квадратичной разности между объектом и изображением, то оптимальная функция будет постоянна в пределах некоторой полосы и равна нулю вне ее. Этот выбор может оказаться весьма неудачным, если освещенность объекта 'быстро изменяется.
Если необходимо получить возможно лучшее качество изображения в каждой точке, то следует устранить угловую точку, находящуюся в начале обычно встречаемых функций фильтрования. Тогда качество изображения улучшается в тех частях, где объект представляет сильные изменения освещенности на небольших интервалах, или там, где функция О имеет значительные кривизны. Целесообразно выбрать такую функцию d, которая имела бы возможно большее число плавных производных на всей Прямой (и изменяется ОТ —СО до +со).
