Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
Уточним здесь некоторые вопросы, связанные с механизмом излучения источника, степенью когерентности в зависимости от разности хода, законом вероятности для комплексной амплитуды и т. д.
1. Представление об излучении неподвижного а/яолт. Если применить приведенную в гл. 7, § 2, схему, можно сказать, что неподвижный атом, излучающий основную частоту f0, колеблется по закону типа
Здесь а0 (г1) — комплексная амплитуда, изменения которой медленны по сравнению с колебаниями множителя с частотой /0, но все же очень быстры в нашей шкале времени: если множитель a0(t) затухает по экспоненциальному закону с постоянной времени t порядка IO-8 сек (соответствующей естественной ширине линий), то при очень большом числе колебаний его ампчигуда изменится мало, тем не менее скорость изменений а0 (t) оказывается очень большой для тех средств наблюдения, которыми мы располагаем. В комплексной плоскости a0(t) приближается к началу координат, описывая прямую OA, но не вращаясь (фиг. 134).
2. Влияние эффекта Допплера. Атом, двигаясь со скоростью V относительно наблюдателя, излучает сложное колебание с амплитудой
а0 (t)h(2«f0t)h(2*tft),
18* 276
, Дополнение
где 8/ — изменение частоты, обусловленное эффектом Допплера, который может быть выражен уравнением о/// = vie. Кажущуюся амплитуду можно достаточно точно записать в виде a (t) h(2itf0t), но мгновенная амплитуда a (t) = а0 (t) h (2тг8//) вращается вокруг начала координат с угловой скоростью 8/.
3. Закон вероятности мгновенной амплитуды источника. Газовый источник состоит из большого числа атомов, излучающих волны с разными амплитудами, величина каждой из которых зависит от радиальной скорости атомов, статистическое распределение которой задано законом Максвелла для газа.
Полная амплитуда А источника равна сумме весьма большого числа амплитуд a(t), изменения которых определены главным образом эффектом Допплера. Мы будем искать закон вероятности для величины полной амплитуды
Известно, что если случайная переменная х\ характеризуется законом вероятности р\{х\), а другая переменная Х2, не зависящая от Xi, — законом P2(X2), то плотность вероятности переменной Z = Xi +X2 определяется интегрированием вероятностей различных пар величин Xi и х2, которые приводят к тому же значению величины Z, т. е.
Фиг. 134.
P (г) = ^ Pi (X1)P2(Z-X1) dx 1.
Мы получили свертку функций P1 я р2 и заключаем отсюда, что если рассмотреть преобразования Фурье функций р, ри р2, то
g(u) = gx (u)g2(u)
(эти функции называются характеристическими функциями законов вероятностей р, ри р2). Определим закон Дополнений
277
вероятности амплитуды А в комплексной плоскости, причем будем считать ее равной сумме большого числа ti амплитуд колебаний отдельных атомов
1=п
а (о = 2 мо-
Можно предположить, что все амплитуды а имеют один и тот же закон вероятности р(а) в комплексной плоскости, выражающий симметрию вращения вокруг начала координат [вероятность p(a)dS того, что конец вектора, представляемого амплитудой а, располагается внутри элемента поверхности dS, зависит только от модуля с]. Пусть g(u,v)— преобразование Фурье функции р{х,у), причем функция g обладает симметрией вращения. Закон вероятности Р(х,у) амплитуды А вытекает из /г сверток, действующих на закон вероятности амплитуд р, и его характеристическая функция равна
G (и, V) = [g (и, и)]".
Но вследствие того, что значение р (а) всегда положительно, функция g(u,v) имеет абсолютный максимум при u = v = 0 (так же как и амплитуда дифрагированной волны имеет максимум, если все колебания имеют одну и ту же фазу). Этот максимум равен
g-(O.O) = JJ р (x, у) dxdy
1.
Для всех других значений и и и, когда функция g(u,v)<C 1 и величина \g(u,b))n стремится к нулю с ростом п, можно получить приближенную величину G=gn вблизи от начала координат, написав, что
g(a, о)« 1 + \-g"u2(u2+v2),
где g'U2=g"vг— значение второй производной в начале координат, всегда меньше нуля. Отсюда вытекает
log G a «log \ + -, g" (и2 + v2)
ц"(и2 +
ехр
g"(u2 + v2)
19-5090 278
, Дополнение
откуда [применяя формулу (2.21)] выводим закон веро. ятности
Но guг можно выразить просто. Так как g есть преобразование Фурье функции f, то, дифференцируя равенство (2.13), получаем
gu' (и, V) = — 4 TT2 Jjx2/ (х, у) h [2ж {их + vy)\ dxdy
и
МО, 0) = -4тг2 JJx2/(X, у) dxdy < 0.
Таким образом, функция F(x,y) представляет собой закон Гаусса, постоянная которого выражается с помощью момента второго порядка закона вероятности f{x,y) комплексной амплитуды а = X + iy. Если положить
°2 = Я(*2 + 02)/(*, У) dxdy
(где о — среднее квадратичное значение модуля а), то получим
g" = — 2тг2а2
и, наконец,
4. Зависимость частичной когерентности от оптической разнэсти хэЗл. Влислим произведение функций A(t) A* (t + характеризующее частичную когерентность колебаний, излучаемых через интервал времени 0, соответствующий разности оптического пути сб. Вычислим среднее значение величины
2 а, (') 2 а/С+ 0),
в которой можно выделить «прямоугольные» сомножители (т. е. такие, у которых і =f= j) с равным нулю средним значением и «квадратные» (г = /) сомножители, которые одни и остаются:
