Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 13. Соответствие между объектом и изображением и выбор оптимального закона фильтрования
Напомним, что между объектом и изображением существует соотношение свертки
I = 0®D,
а между преобразованиями Фурье этих функций — соотношение «фильтрования»
і =o-d.
Функция d, являющаяся функцией автокорреляции функции F (?', у'), равной нулю вне некоторой конечной области (отверстия зрачка), также равна нулю вне некоторой конечной области. Если зрачок круглый и угловой радиус этой области равен а', то областью d является круг радиусом 2 а'. Иначе говоря, изображение не содержит высоких частот. Отсюда вытекает, что изменения освещен- 256 *
Часть III. Влияние аберраций
насти I {у',- z') не могут обладать произвольно крутыми спадами.
При изучении этого вопроса Арсак (J. Arsac, 1956) указал, что можно воспользоваться одной теоремой Берн-штейна, расширенной Боасом на интересующий нас случай1'.
Если функция g(и) равна нулю вне интервала конечной протяженности
— L<u<+L, то производные ее преобразования Фурье ограничены.
Уточним это положение; пусть M—верхняя граница функции \f(x)\\ тогда
\fp)(x)\<(2^Ly>M. Как частный случай рассмотрим f(x) = cos(2tcLa:); имеем M = 1 и
fp) (х) = (2тzL)p cos 2тгLx + Pi9
f^ (х) действительно достигает величины (2tzL)p. Граница, определенная теоремой Бернштейна, является, следовательно, достаточно точной, а значит, и достижимой.
Рассмотрим теперь функцию двух переменных. Легко установить следующий результат. Если область А существования функции G (и, V) может быть заключена в пределах полосы — Lx < и < 4- Lx, то
Щ^^ум. (11.4)
Так как можно всегда с помощью операции поворота привести ось X в любое заранее данное направление при условии выполнения такого же поворота осей в плоскости и, V, предыдущий результат остается справедливым для любого направления.
Если, в частности, область А вписана в круг радиусом R с центром в начале координат, то для всех направлений мы получим следующее выражение для функции /, представляющей оптическое изображение:
ig < (2kR)pМ. (11.5)
г) См. Boas, Journ. London Mathem. Soc., 12, 164 (1937). Фото X. Дваїблизких точечных источника.
Фото XI. Два точеч ных источника на преде ле разрешения Фото XII.
Фото XIII. Гл. 11. Приложения
257
Отметим, что функция / является существенно положительной. Функция /¦—М/2 имеет свое преобразование Фурье, вписанное в область Л; она обладает теми же производными, что и /. Ее модуль ограничен величиной М/2. Поэтому можно во всех предыдущих формулах заменить M на М/2.
Дадим некоторые практические приложения этих результатов.
а) Обозначим через / (M1) и I (M2) значения освещенности в каких-либо двух точках изображения. Используя теорему о конечном приращении, находим
I I (M1) — I (M2) I < KRMJA2M. (11.6)
Рассмотрим изображение границы равномерно освещенного поля. Освещенность на предмете принимает последовательно значение 0 и Ж, Освещенность на изображении будет представлена подобными изменениями и меняется от нулевого значения до максимального М. Сопоставим M1 области / (Af1) = On M2 освещенной области I(M2) = M. Тогда из (11.6) имеем K^Af1Af2, откуда
Освещенность не может перейти от нулевого к максимальному значению на интервале более коротком, чем 1 /kR, где R — максимальная пропущенная пространственная частота. Поскольку R = 2а'Д, то минимальный интервал равен (1/тс) (А/2а'); это согласуется с заключением гл. 5, § 2, где было найдено, что интервал А у', соответствующий максимальному спаду кривой, равен ЗтсА/16а'. Это приблизительно соответствует разрешающей силе прибора.
б) Аналогично предыдущему получаем
I I (M1) +I (M2) - 21 (M0) I < I (KdRf М, (11.7)
где M0 — середина сегмента M1M2 и d—длина сегмента M1M2.
Рассмотрим дифракционное пятно прибора. Пусть значение центрального максимума пятна равно M0, « выбе-
J 7—5090 258 *
Часть III. Влияние аберраций
рем значения M1 н M2 с одной и с другой стороны от этого максимума с таким расчетом, чтобы
I(M1) = I(M2) = ^M.
Тогда из соотношения (11.7) следует, что d>y2/ir^ [и (У"2/тг)(л/2а') для круглого зрачка]. Но d — ширина полумаксимума пятна рассеяния, т. е. практически разрешающая сила прибора. Следовательно, существует прямая зависимость между разрешающей силой и предельной частотой функции фильтрования прибора.
Качество изображения. Оптический прибор дает изображение / объекта О. Назначение прибора состоит в том, чтобы изображение оказалось насколько возможно подобным объекту. Поэтому существенный интерес представляет изучение различий между объектом и изображением. Это изучениеможно вести с двух точек зрения:
а) Общая. Важны не различия для каждой точки, а только некоторое среднее значение их. Тогда следует брать в качестве критерия среднюю квадратичную разность между объектом и изображением. Это — классическая точка зрения. Оптимальной функцией фильтрования d(u, и) является функция, постоянная в области А, где она отлична от нуля. В этом случае изображение идентично с объектом, если только объект не содержит частот, превышающих предельную частоту прибора.
