Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
2а - /лш2 -2а cos (3,
-2а cos (3, 2а - Мм2 или
М/лы4 - 2а (М-+- т) ы2 -ь 4а2 sin'2 j3s = О,
т. е. квадратное уравнение для и2, напоминающее секулярное уравнение для
линейной консервативной системы с двумя степенями свободы. Решая это
уравнение, находим:
О
9 М-+¦ т ± V(М-+- т)1 - 4/lfmsin2fJs , _ \ /1 г,\
о)2=а ш-------------------- (s = l, 2, ..., л) (10)
(такое простое выражение для частоты получается лишь в случае одномерной
решетки. В случае пространственной решетки вычисление частот гораздо
сложнее).
Кристалл имеет огромное число частот - порядка 1023. Фактически нам нужно
знать не каждую частоту в отдельности, а закономерности в распределении
частот. Набор частот принято называть спектром. Нам нужно выяснить, каков
спектр нашей одномерной цепочки. Для этой цели мы найдем более простое
304
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
выражение, воспользовавшись тем, что п - очень большое число.
Из формулы (10) видно, что с увеличением s большая частота ы>2
уменьшается, а меньшая частота ып увеличивается. Таким образом, s = l
дает самую низкую и самую высокую частоту, s - 2 дает две более близкие
частоты и т. д.
Рассмотрим очень длинные волны, т. е. очень малые s. Для малых s величины
(3" а следовательно, и sin [3", очень малы. Здесь приближенно
mf - 4Mm sin2 [38 " {M -+- т) ?l щ+т)* sin2 Р\] * (-11)
Не трудно видеть, что то же приближение справедливо для любых если т мало
по сравнению с М (в случае очень длинных волн, т. е. достаточно малых s и
?S4, выражение (11) приближенно справедливо для любых М и т).
Напишем, используя (11), приближенные выражения для частот. Для второй
частоты мы можем в первом приближении отбросить второй член формулы (11).
Это приближение годится для длинных волн, а также для любых волн при
большой разности масс. Мы получаем на основании (10):
Самое существенное в излагаемой теории заключается в том, что при одной и
той же длине волны мы имеем две частоты, которые для М^> т сильно
отличаются друг от друга. Колебание с малой частотой - акустическое
колебание. Колебание с большой частотой - внутримолекулярное колебание.
Это разделение колебаний на два типа специфично для дискретной решетки и
совершенно чуждо сплошной системе (вполне понятно, что в сплошной системе
нет внутримолекулярных колебаний).
Спектр частот нашей дискретной решетки состоит из двух ветвей: ветви
низких частот, которую называют акустическим или дебаевским спектром, и
ветви высоких частот, которую называют оптическим (инфракрасным) или
борновским спектром.
Рассмотрим теперь самые короткие волны, для которых s близко к п. Для них
из точной формулы (10) имеем с очень хорошим приближением:
2а sin2
И + m
2а (Л/ч- щ) Мт
(12)
ТРИДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
305
Действительно, при большом п
К
2п +1
откуда sin2(3K = l, и, следовательно,
7С
~2
sJ{M-+- mf - 4Mm sin2 |3" = M- т.
Подставляя это значение в (10), получаем (13).
Нарисуем диаграмму распределения частот, расположив их в порядке
возрастания их величины, т. е. введя надлежащую новую нумерацию частот
(рис.
122).
Если масштаб выдержан (п очень велико, порядка 1024), то первые частоты
(u>sl для малых s) очень малы, так как очень малы
Sit
величины sin
и практи-
2л 1
чески кривая начинается с нуля. Так как для достаточно малых s с хорошим
приближением
Рис. 122.
2а
S7C
м-
2л-+- 1
-XS
(14)
(* - постоянная), то вначале кривая не отличима от прямой. Если М^>т, то
приближенно
' 2а т
м
- JLi/-
(0и2 2 У
и вся вторая половина диаграммы лежит в узкой полоске, параллельной оси
абсцисс.
То, что при М т в цепочке из двух сортов масс все частоты борцовского
спектра приблизительно одинаковы, легко видеть и непосредственно. При М
'^> т в дебаевском спектре большие массы колеблются и увлекают малые, а в
борновском спектре большие массы почти покоятся. Здесь можно считать
(приближенно), что п частиц колеблются независимо и, следовательно, с
равными частотами. Аналогичное рассмотрение применимо в случае, когда
ячейки состоят из трех частиц, одна из которых обладает гораздо большей
массой, чем две другие.
20 Л. И. Мандельштам, том IV
306
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Таким образом, спектр состоит из двух ветвей, не соприкасающихся между
собой, если М=^=т. Одна ветвь начинается практи-чески с нуля. Другая
ветвь, соответствующая более высоким частотам, не является простым
продолжением первой. Наличие этих двух ветвей--это то основное и
замечательное, что характерно для дискретной теории.
Посмотрим теперь:
1) дает ли дискретная теория те результаты, которые правильно отображает
теория сплошных сред;
2) что в дискретной теории чуждо обычной теории сплошных сред.
Для макроскопических свойств - модуля Юнга (коэффициента упругости) Е и
плотности р - имеем?-:
г. г М -#- т
Е Cf.d, р 1
откуда
Е_==_^_ (15)
р М-ь-т • V '
Теория сплошных сред утверждает, что звуковые (упругие) колебания
распространяются в стержне со скоростью
-V
f. (16)
Вдоль стержня укладывается целое число полуволн, т. е.
