Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 95

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 160 >> Следующая

мы вводим краевые или граничные условия. Для этого мы добавляем две новые
координаты у(о> и х(2н+1). Тогда для х(1) и получаются такие же
уравнения, что для остальных х^ и но мы требуем дополнительно - и в
этом состоят
краевые условия, - чтобы было
у(°) = 0, х<ав+1> = 0. (2)
Итак, мы добились того, что все уравнения (1) для ?=1,3,..., 2п - 1, а
также для у = 0, 2, 4, ..., 2л тождественны, но зато ввели краевые
условия.
Мы взяли специальный случай, когда Концы (крайние частицы слева и справа)
закреплены. Закрепить концы реального кристалла не так просто. Физический
смысл закрепленных концов-заделка концов кристалла в иную, намного более
жесткую среду. Можно было бы взять другие специальные случаи граничных
условий, например случай свободных концов. Можно считать приближенно, что
концы свободны, если кристалл намного жестче, чем ограничивающая его
среда.
Необходимо заметить, что главные интересующие нас здесь свойства
колебаний кристаллической решетки не зависят от граничных условий.
ТРИДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
301
Решение задачи (1), (2) лобовым методом, приводящее к секу-.лярному
уравнению 2/г-го порядка, очень громоздко. Мы применили особый прием,
сделав для дмплитуд А^ и B<J^ координат
и получили для а, Ь и и уравнения:
(2а - /пи2) а - 2а cos (3 • Ь - 0; 1 ...
-2а cos j3 • а -+- (2а - Мч>2) Ь = 0. J
Если мы найдем такие а, Ь и и, которые удовлетворяют этим двум
уравнениям, то подстановка (3) удовлетворит всем 2/г уравнениям (1) при
любом р. Остается удовлетворить граничным условиям (2).
Мы могли бы заменить в (3) синусы на косинусы. Это также привело бы к
решению уравнений (1), но не позволило бы удовлетворить граничным
условиям. Тем, что мы взяли синусы, мы уже удовлетворили первому
граничному условию. Для того, чтобы удовлетворить второму, нужно взять
для (3 одно из значений
Для каждого s имеется два значения и>", определяемые уравнениями (4).
Обозначим меньшее из этих значений через мп, большее- через ыв2. Для
того, чтобы решить задачу до конца, нужно для каждого s вычислить мв1 и
м<,2, а затем найти из (4) соответ • ствующие им значения отношения а/Ь.
Но основное свойство этого отношения можно вывести, не проводя вычисления
частот (i)sl и ms2. Это свойство состоит в том, что отношение а/Ь
положительно для u = o)sl и отрицательно для о) = ыа2. Действительно, .из
уравнений (4) имеей:
и yW подстановку
А(к> - a sin k[j, В^1 = bsinj$
(3)
(5)
а 2а cos Р
(6)
Ь 2а - шш2 '
Уравнения (4) имеют такой же вид, как уравнения системы с двумя степенями
свободы, причем величины
302
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
играют роль парциальных частот (для любого s). Следовательно,, если М =т^
т, то1
< П\ < П\ < "*2.
Перепишем (6) в таком виде:
а __ 2а cos 3 /QY
ъ т п\ - (??
Подставляя в (9) о - ып и со - <оя2, принимая во внимание неравенства
(8), а также то, что согласно (5) cosps^>0, получаем:
jr>0, >-<0.
0*1 Оц 2
Таким образом, колебания с частотой co,?1 происходят так, что
все
массы - и большие и малые - смещаются одновременно в
одну
б) о---
- ' О- -
о^-о---о------------------о-___________о--^0
Рис. 121.
сторону, а колебания с частотой со42 -так, что одновременно смещения
больших и малых масс направлены в разные стороны.
Для того, чтобы наглядно себе представить картину колебания всей цепочки,
отложим амплитуды по оси ординат. Для ап и bsl мы получим синусоиды,
обращенные всюду в одну и ту же сторону (например, для s = l - рис. 121,
а). Для а42 и bs2 мы получим сунусоиды, обращенные всюду в
противоположные стороны (для s = l - рис. 121,6').
Расстояние между частицами, совершающими одинаковое движение, мы будем
называть длиной волны (оно и соответствует тому, что принято называть
длиной волны). Мы можем теперь сказать, что каждой длине волны
соответствуют два типа колебаний.
При колебаниях первого типа (частота мЛ) синусоиды, изображающие
колебания частиц обоих сортов, колеблются синфазно.
[См. 23-ю лекцию.]
ТРИДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
При этом частицы одного сорта колеблются немного слабее, частицы другого
сорта - немного сильнее. В случае колебаний второго типа (частота ы52)
обе синусоиды колеблются в противо-фазе.
Не следует забывать, что в действительности колебания продольны.
Полученная картина означает следующее.
Колебания wsl. Здесь смещения соседних частиц происходят в одном и том же
направлении. При этом меняется количество частиц на единицу длины, т. е.
макроскопическая плотность. Таким образом, колебания с частотами ы41 -
это обычные акустические колебания.
Колебания ws2. Смещения соседних частиц происходят в противоположных
направлениях. При этом типе колебаний нет заметного макроскопического
изменения плотности. Это-внутримолекулярные колебания.
Перейдем к вычислению частот (напомним, что в вопросе о теплоемкости
после того, как пришлось отказаться от равномерного распределения энергии
по степеням свободы, стало важно знать частоты колебаний кристаллической
решетки).
Для того, чтобы найти и мч2 для определенного s, надо решить уравнение
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed