Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
столько же алгебраических уравнений для Aи В^\ Но можно свести
определение 2л-+-2 величин А(1), Л(3), ..., В(2J, 5(4),... к определению
всего лишь двух величин. Это делается с помощью очень красивого приема
(не знаю, как до него дошли). Полагаем:
А(1<) - a s\n к&\ i
B('> = 6sinyfi. ) (19)
Можно так распорядиться величинами а, Ь и (2 (если мы правильно подберем
со, т. е. частоту), что выражения (19) будут решением системы
алгебраических уравнений (18).
Подставляем (19) в (18). Получаем:
(2а - ты2) a sin 1ф - аЬ [sin (к - 1) (3 -+- sin (к -+-1) [3] = 0,
-аа [sin (j - 1) (3 -1- sin (j ч-1) [3] -ь(2а -Мы2) b sin j$- 0,
или
[(2а - ты2) a - 2а cos |3 • b\ sin k$ = 0, 1 [-2a cos j3 '• a -H (2a -
Tlfco2) 6] sin/(3 =0. I
Наша подстановка (19) будет удовлетворять уравнениям (20) при любых к и
j, если
(2а - ты2) а - 2а cos [3 • Ъ - 0, i .
- 2а cos (3 • а -+- (2а - Мы2) Ъ = 0. J
Мы сделали огромный шаг вперед. Нужно было решить систему алгебраических
уравнений (18) с очень большим числом неизвест-
298
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ных. Мы 'ищем их в виде (19). |Здесь зависимость неизвестного от его
номера j или к заключена под знаком синуса. При подстановке (19) в (18) j
и к выпадают, и мы получаем, вместо 2л-ь-2 уравнений, два уравнения (21).
Это оказалось возможным потому, что все уравнения (16) и все уравнения
(17) имеют одинаковую структуру.
Но прежде, чем решать уравнения (21), нужно определить величину (3.
Вспомним для этого, что концы цепочки закреплены. Это выражается
условиями (13). Подставляя в (19) 7 = 0, мы видим, что первое из этих
условий уже выполнено. Остается подобрать (3 так, чтобы было выполнено
также второе условие (13). Для этого должны быть
Получается бесчисленное множество возможных значений р. Легко видеть, что
значениям [3, получающимся при 5 = 1, 2,..., п, соответствуют различные
решения уравнений (21), а значениям, получающимся при s = n+l, п-ь2
соответствуют решения
уравнений (21), повторяющие те, которые получаются при
Подставляя значения Р, соответствующие s = l, 2, ..., п, в уравнения
(21), мы будем каждый раз получать для определения частот детерминантное
уравнение
Это - квадратное уравнение относительно со2. Для каждого заданного р оно
дает два значения о>2, т. е. две различные частоты. Мы получаем всего 2п
различных частот. Так как число степеней свободы равно 2п, больше
требовать ничего нельзя, - мы нашли все частоты.
(2л н- 1) р = siг,
где s-произвольное целое число, или
(22)
5 = 1, 2, ..., л1.
2а - /лсо2 -2а cos Р -2а cos р 2а - Л/со2
(23)
1 [Подробнее см. 30-ю лекцию.]
ТРИДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
299
Обозначим через и уМ смещения k-oft и j-ой точки при "определенном s.
Тогда
ХР = а" sin 2~TT cos ("•* ¦+' ?")"
Ss} - b* sin cos"+' ?")•
Для каждого s имеется две частоты <оп и ws2 и соответственно два значения
отношения 6/а. Для того, чтобы найти эти значения, нужно решить систему
уравнений (21) при со = соп и со = cos2. Для амплитуд имеем:
Д(*0 = a sin = ? sin
л< " 2n-f-l". " " 2л-ь1'
Рассматриваемые колебания продольны, но представим себе, что мы отложили
смещения, как ординаты, против точек, где расположены массы. Для данного
s все массы каждого сорта располагаются в любой момент времени по
синусоиде. Длина волны синусоиды определяется числом s. Например, для s =
l на цепочке укладывается полволны.
В случае континуума точки также располагаются по синусоидам. Но между
полученной здесь картиной и тем, что дает "непрерывная" теория, есть
принципиальная разница. В случае континуума каждой длине волны
соответствует одна частота. В нашей дискретной системе для каждого s, для
каждой длины волны имеется два нормальных колебания - две частоты и два
распределения амплитуд. Это - замечательное обстоятельство.
ТРИДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(6IV 7931 г.)
Одномерная модель кристалла, состоящего из двух сортов атомов
(продолжение). Подробнее исследование типов колебаний и строения спектра.
Акустические и внутримолекулярные колебания. Принципиальное отличие от
теории, не учитывающей атомистическую структуру. Переход к случаю, когда
все атомы имеют одинаковую массу. Задача об электрических
фильтрах.
В прошлой лекции мы начали разбирать одномерную модель кристаллической
решетки, состоящей из чередующихся частиц фатомов) двух сортов. Конечно,
реальная решетка - трехмерна, но •основные, характерные черты можно
увидеть и на одномерной
300
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
решетке. (Аналогичная задача - поперечные колебания струны с грузами,
рис. 120.)
Мы написали для каждого сорта частиц по уравнению - представителю:
тлх"-на(2х"-У*+1> -*/fc-]>) = 0 (&=1, 3, ...,2л -1), j
Муи- а (2- х<у+1> - х(у-х>) =0 (у = 0, 2,4, ..., 2л), /
всего 2я-+-2 уравнений (по числу частиц).
Уравнения (1) имеют один и тот же вид для каждого атома каждого сорта, за
исключением первого и последнего уравнений,, в которых отсутствуют
соответственно члены у^~^ и х^+1К
-о----------------о-°-о-°-о-
Рис. 120.
Аналогично тому, как это всегда делается при рассмотрении сплошных сред,
