Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 ia = Ае-'\ -2 ib = Ае<"<
(А и ф - произвольные действительные величины), и мы получаем:
= А sin (Ар - ф). (11)
Это решение означает, что фильтр пропускает частоту р. Условие (10) может
быть представлено в таком виде:
Р<
'JLC
Если условие (10) не выполняется, т. е. частота внешней э.д.с. p^>2j\JLC,
то величина у при этом не является чисто мнимой; как мы увидим, таких
частот фильтр не пропускает.
Таким образом, фильтр пропускает только частоты, лежащие ниже
определенной критической частоты, равной
(12)
Эффективность фильтра зависит от числа ячеек, но критическая частота от
него не зависит; она определяется только структурой ячейки. Обычный
(сплошной) кабель критической частоты не имеет, он пропускает все
частоты.
Однако здесь нужно заметить следующее. Критическая частота отсутствует у
однородного сплошного кабеля. Сплошной кабель с периодически меняющимися
(в функции расстояния) L и С будет обладать фильтрующей способностью.
Такой кабель будет пропускать низкие частоты и задерживать высокие.
Наряду с фильтрами рассматриваемого типа, нужны также фильтры обратного
типа, пропускающие высокие частоты и задерживающие низкие. (Эти два типа
фильтров составляют основу "фильтровальной" техники.) В "обратном"
фильтре емкости расположены последовательно, а индуктивности--¦
параллельно (рис. 133), т. е. емкости шунтируются индуктивностями.
320
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Можно избежать нового математического исследования, сведя задачу о
фильтре второго типа на задачу о фильтре первого типа. Составляя
уравнения по Кирхгофу или по Лагранжу, получаем:
Сравним уравнения (13) и (8). Достаточно заменить 1/С на L, а I на 1/С и
написать р вместо 1 /р, чтобы перейти от уравнений (8) к уравнениям (13).
Сде-
второго типа критическая частота (при тех же I и С) меньше, чем для
первого.
Имея два фильтра, один - первого, другой - второго типа, можно составить
из них фильтр, пропускающий лишь некоторый интервал частот. Первый фильтр
задержит частоты выше некоторой определенной величины, второй задержит
частоты ниже некоторой другой определенной величины. Разность этих
величин и даст полосу пропускания.
То, что было сказано о пропускании и непропускании, нам еще предстоит
доказать. Кроме того, нужно будет получить количественные выражения для
амплитуды на выходе фильтра. Но я хотел бы сначала показать наглядно, в
чем здесь "колдовство".
Возьмем фильтр первого типа (рис. 132). Почему он пропускает медленные
колебания? Если приложить к одному концу постоянное напряжение от
батареи, то на другом конце будет такое же напряжение, как на батарее. С
другой стороны, для очень быстрых колебаний емкости представляют собой
очень малые сопротивле-
(fc)
Ц + L (2?<*> - q - qV-V) = 0,
дает уравнения
г) Ат - L (А(к+1) -+- А*-1]) = 0. (13)
лав такую же замену в формуле (12), мы получим для фильтра второго типа
следующее условие пропускания:
Рис. 133.
Частоты, лежащие ниже 1/2 \!LC, он не пропускает. Для фильтра
ТРИДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
321
ния, они образуют почти короткие замыкания. При очень большой частоте
каждый конденсатор шунтирует предыдущую часть линии малым (и
уменьшающимся с увеличением частоты) сопротивлением.
Возьмем фильтр второго типа (рис. 133). Приключенная к его концу батарея
зарядит первый конденсатор, но дальше ток не пойдет, напряжение на конце
будет равно нулю. Если же частота источника велика, каждая ячейка
шунтируется большим сопротивлением (индуктивное сопротивление растет с
увеличением р) и напряжение на конце линии велико.
Нам нужно теперь вычислить амплитуды колебаний в фильтре.
При частоте ниже критической в фильтре первого типа мы получаем,
подставляя cos pt, где Aдается форму-
лой (11), в граничное условие (6):
-A sin i]n- A sin ([3- §) = С<§. (14)
Второе уравнение для определения А и ф мы получим, подставляя (11) в
граничное условие (7):
A sin [(/1 -+-1) [3 - ф] = 0.
Отсюда
ф = (/1Н-1)(3. (15)
Подставляя (15) в (14), имеем
CS
А-
9 • Р 2 sin - cos
Пользуясь этой формулой, найдем амплитуду ^напряжения фн^С на конце
фильтра:
у AW A sin (ф - /гР) A sin 3 ___________ CcJsinP
Л~~С~ С ~ С - п " . 3 7 1
С • 2 sin cos ( п
или
3
COS -7г-
х=ё-, . (16)
n+k)
з
Для очень малых р величина [3 также очень мала, и можно считать
приближенно:
COSy=l, cos (п -+- у j |3 = 1.
21 Л. И. Мандельштам, том IV
322
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Напряжение на конце равно напряжению, подводимому к первой ячейке.
Формула (16) показывает также, что для некоторых участков частот
напряжение на конце фильтра может быть значительно больше, чем 8. Фильтр
пропускает все низкие частоты (р <( 2/\jLC), но пропускает их
неравномерно. В частности, если р таково, что
cos [п -н y) Р - О,
то имеет место резонанс, Х== со, т. е. напряжение на конце кабеля (в
отсутствие затухания) растет неограниченно.
Затухание скрадывает эти различия. При больших затуханиях фильтр более
или менее одинаково пропускает все частоты ниже критической.
