Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 98

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 160 >> Следующая

вещества. Мы встречаем здесь те же идеи, что и в теории "технических"
связанных систем, но только иначе примененные. Динамика кристаллической
решетки интересует нас еще и в связи с тем, что мы старались с ее помощью
оптически уловить строение вещества1.
Вернемся к техническим системам. Рассмотрим фильтр (рис. 126) -
электрический аналог одномерной кристаллической решетки с одинаковыми
массами. Двум различным массам Мят
соответствовал бы фильтр Д; --(- -Д -Д
с двумя различными че- т т т т т
редующимися индуктивностями. На практике при- Рис. 126.
меняют фильтры, состоящие из одинаковых ячеек, но фильтры с чередующимися
ячейками двух сортов также могут пригодиться.
Однако, прежде чем приступить к задаче о фильтре, разберем
переход к случаю равных масс в задаче о кристаллической
ре-
шетке. Переход этот довольно интересен.
При М - т формула . (10) сильно упрощается и дает:
со
2 . 9 n 4& t)$8 /н >-7\
si т sin ~2 ' ы*2 COS ^ )
Вместо того, чтобы исходить из теории, построенной для двух сортов масс,
мы можем поступить иначе: считать с самого начала,
1 [Ср. том I, стр. 320, 327.]
310
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
что все массы одинаковы, и написать и решать уравнения одного типа для
всех масс от к - 1 до к = 2я. Тогда вместо двух выражений для частоты
получается одно и ее номер s изменяется от 1 до 2/7. При этом нет
никакого деления на спектры Дебая и Борна, каждой длине волны
соответствует одна частота. А именно, если с самого начала решать задачу
для М-т, то все частоты выражаются формулой
0>5 = ^sina! (s = l, 2,..., 2а), (18)
а распределения амплитуд - формулой
=а,sink$n (k = 0, 1, 2,..., 2n), (19)
причем
(s==1' 2' •••' 2п)¦ (20)
Легко убедиться, что формулы (17) и (18) дают один и тот же спектр частот
для s = 1, 2, ..., п. Формула (18) совпадает с первой формулой (17), а
для s = п -+-1, п -+- 2, ..., 2п из формулы (18) получается то же, что и
из второй формулы (17) для s - п, п - 1, ..., 2,1.
Несколько сложнее обстоит дело сл типом колебаний. Когда в формуле (20) s
меняется от 1 до 2п, длины волн становятся все короче и короче. Для
первого типа колебаний все в порядке: синусоиды, определяемые формулами
(19) и (20) для s = l, 2, ..., п, совпадают с синусоидами, которые дают
при М- т формулы (3), (6) и (9) (здесь а = Ь). Но для второго типа
колебаний на первый взгляд получается противоречие. Когда мы исходим из
нашего первого способа рассмотрения, полагая затем М-т, то мы получаем
две синусоиды одинаковой амплитуды, но противоположной фазы (Ь = -а). На
одной синусоиде лежат все четные массы, на другой - все нечетные. Если же
мы пользуемся вторым способом рассмотрения, с самого начала полагая М-т,
то массы оказываются расположенными на одной синусоиде (19). Противоречие
разрешается следующим образом. Физический смысл имеют не все ординаты
синусоид, а только те, которые соответствуют точкам, где расположены
атомы. Но для этих точек формулы (3) и (19) дают одно и то же, т. е.
соответствующие им ординаты синусоид (3) являются вместе с тем ординатами
синусоиды (19). Покажем это.
тридцатая лекция
311
Колебанию <us2(s = l, 2, п), получаемому при первом спо-
собе рассмотрения, соответствует при втором способе рассмотрения
колебание ov, где s'= 2п, 2п--1, п-*-1, т. е.
s' = 2п -+-1 - s.
Оно имеет согласно (19) и (20) распределение вида
А$> = a sin k pf, == a sin = (-if (- a sin
(к = 0, 1, 2, 2л),
или, если ввести для нечетных к обозначение /,
A(r) =asin^1- (/ = 1, 3, ..., 2л ¦+¦ 1),
А& = -a sin (к = 0, 2, 4, ..., 2л).
Эти выражения совпадают с теми, которые получаются из (3
при Ь--а.
Итак, частицы одновременно лежат на двух синусоидах (3) и на одной, более
частой, синусоиде (19) (рис. 127). Вопрос пол-
ностью разъяснен. При обоих способах рассмотрения получаются лишь
различные выражения одинаковых результатов.
В случае фильтра с равными ячейками магнитная и электрическая энергия
определяются выражениями:
2 Г= 2 i (/')". 2U=yd^'-^'-.
к ' к
Из них получаются, в качестве уравнений Лагранжа, такие же уравнения, как
для решетки, с заменой а на 1/С, т = М--на L и х на q:
Li?) ~ (2- <7(А+1) - /-Ч) = 0 (к =1, 2, ..., л). (21)
312
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Само собой разумеется, уравнения (21) являются для соответствующих
обходов ячеек обыкновенными кирхгофовскими уравнениями.
Итак, мы получаем тот же самый вид уравнений, что для цепочки из
одинаковых масс.
Однако здесь нас интересуют главным образом другие вопросы. В отличие от
кристаллической решетки, основной интерес здесь представляют не
собственные колебания системы, а то, как она ведет себя в качестве линии
передачи.
Отметим еще и другое отличие. В случае электрического фильтра число
звеньев обычно не очень велико: не более 20-30. В случае кристаллической
решетки мы пренебрегаем единицей по сравнению с числом звеньев. Здесь
нужно быть осторожнее.
В электротехнике представляет интерес не только фильтр сам по себе, но
также фильтр как модель кабеля. Здесь положение в некотором смысле
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed