Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Остается доказать вторую часть нашего утверждения - то, что фильтр
практически не пропускает частот выше критической.
ТРИДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
(121V 1937 г.)
Фильтры (окончание). Исследование. "прямого" фильтра при частоте выше
критической. Распределение напряжения по ячейкам. Напряжение на конце.
Поведение реальных фильтров при очень высоких частотах. Акустический
резонатор и акустический фильтр. Механический фильтр В. Ф. Митке-вича.
Общие замечания о теории колебаний. Переход к распределенным системам.
Разложимость произвольной функции по собственным функциям сплошной
колебательной системы.
Закончим вопрос о фильтрах.
Мы искали решение дифференциальных уравнений фильтра в виде:
q(k) - ^4(fc) cos pt.
я Л (k)
Для определения А получаются уравнения
(| - Lf) Ат - ± (А{к+1} -+¦ Аф~1)) = 0.
(1)
ТРИДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
323
Их можно решить подстановкой
А(П^аек\
приводящей к уравнению
(?-V)--i(e*-e-f) = О,
ИЛИ
chy = l - Щ-Р1. (2)
Если у-решение уравнения (2), то -у тоже является решением. В силу
линейности системы (1) ее решением будет также
А{Щ = аек'1 Д-Ъе~к\ (3)
Это решение содержит две произвольные постоянные а и Ь,
нужные для того, чтобы удовлетворить обоим условиям на
концах.
Если внешняя частота р удовлетворяет условию
| 2 - CLp21 < 2,
т. е. LCp2<C 4, или
Р<Ш' <4)
то у = ±t'p, где - действительная величина.
Используя краевые условия
<7(0> - <7(1) = CS cos pt или - A^ = CS (5)
и
ч(я+1) = 0 или А{п+1) = 0, (6)
мы получили для амплитуды X напряжения q^/C на конце фильтра выражение
Р
cos -
Л = ; 21г- ¦ (7)
Пусть теперь частота р больше критической, т. е.
| 2 - CLp21 > 2, (8)
ИЛИ
. 2
324
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Для таких р величина 1---ЬСр212 отрицательна, и на основании (2) у не
может быть действительным (если у действительно, то chy положителен).
В^случае (8) у не может быть и чисто мнимой величиной. Таким образом,
теперь у-существенно комплексная величина.
Пусть
У = ?н-П) (9)
(?, v) - действительны). Тогда
er = (cos 7) н- i sin т)), I ^
ё~т = ё~* (cos 7) - г sin ri). j
Подставив (10) в (2) и учитывая, что правая часть действительная, мы
получаем:
Sin Г) - 0, Т. е. 7) -ГЛ77,
где т - целое число. Но четные т (т=0, 2, 4, ...) непригодны: они не
исправят знак в левой части уравнения (2), так как cos 7)
при этом равен -4-1. Пригодны лишь нечетные т.
Возьмем, например, т= 1, т. е. положим:
у = ?н-гтс. (И)
Тогда ет= - е~т = -е~е и левая часть уравнения (2) обра-
щается в
-(е^ I - е~5)
(с минусом! Добавок гти понадобился именно для того, чтобы обернуть
знак).
Теперь можно удовлетворить уравнению (2), определив ? из условия
(12)
Оно дает действительное ?, так как в рассматриваемом случае
1-^|>1.
При этом ? тем больше, чем больше р.
Таким образом, для случая (8) мы получаем решение уравнений (1) в
следующем виде:
ае№+Иск ?е- (ki+ikiz)'
ch?;
LC 2
' 2 Р
ТРИДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
325
Принимая во внимание, что е-'к%={-1)*, можно освободиться от мнимостей и
написать:
Ат = (-If (aeki -+- Ье-% (13)
Получился интересный результат: напряжения на последовательных
конденсаторах имеют чередующиеся знаки.
Величины а и Ь определяются и здесь из краевых условий (5) и (6).
Подставляя (13) в (5) и (6), имеем:
а-л~Ь-л- ае'' -+- Ье~' - 8, )
ае("+1)?-1-6е-(и+05 -0. I
Не решая системы (14), сделаем следующее замечание. Из второго уравнения
(14) имеем:
а = _ йе-2("+1) 5.
Отсюда видно, что если ? не очень мало и если взять достаточно большое
число звеньев, то а чрезвычайно мало по отношению к Ь.
Если к не очень велико, второй член в выражении (13) преобладает и
решение практически имеет вид
Ат = (- If Ье~кК
Таким образом, если частота превышает критическую, то (при указанном
условии) напряжение монотонно падает с увеличением номера ячейки по
экспоненциальному закону.
Для того, чтобы получить общее выражение для X, восполь-з уемся уже
найденным нами решением (7), относящимся к первому случаю, когда у чисто
мнимое. Запишем его в виде
<1 -Д JL -I
Р 2 -I- Р 2 Р2 р 2
X=S-rei *e 17- = *-/- м / м • (15)
е ' I"+ *) Р + Г' I"+ *1 Р е Г+^) Т_ е~ Г+ Т) 1
Решение для второго случая получится, если подставить в (15), вместо у,
выражение (11). Это дает:
2_ , 2
Х= S
(>'+ у) - (м-t-(E+i*)
326
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
или, поскольку e±H^ = ±i, - (-1)'*,
о
Х=ё(- 1)и
е - е
(16)
Заметим прежде всего, что в зависимости от того, является ли число
звеньев четным или нечетным, амплитуда напряжения на конце положительна
или отрицательна. При сколько-нибудь большом п второй член в знаменателе
можно откинуть, и тогда
Следовательно, при достаточно большом числе звеньев |2f| очень мало по
сравнению с 6. Это и означает, что фильтр не пропускает частоты выше
критической.
Пусть ? = 2, п = 10. Получается ослабление в е20 раз. Такого большого
ослабления на практике никогда не нужно. Не трудно иметь ? = 1,5. Тогда
для целей практики вполне достаточно 5-6 звеньев.
Возьмем крайний случай. Если р очень велико по сравнению с критической
