Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 100

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 160 >> Следующая

Собственные частоты нашего ячеечного кабеля (фильтра) суть
2(л+1) . S7t
ш,5 ==-----,---- Sin 0 , ,
'IlqCo 2 ("1)
"собственные же частоты сплошного кабеля -
-________ S7T
t°s~
Следовательно,
CDS 2 (/Z Н-1) ST
316
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ИЛИ
(Os sin ? "__ s7t
<os ? ' 2(л + 1)
(функция sin ?/? часто встречается в теоретической физике).
Для ячеечных кабелей, подобранных только что указанным способом, имеются
таблицы собственных частот.
В случае апроксимации одной ячейкой (л = 1) наш общий способ приводит к
схеме рис. 131. Здесь, в отличие от рис. 129,, в выражение для
собственной частоты входит не вся индуктивность кабеля, а ее половина.
Получается собственная частота
/."А
Она отличается от основной частоты сплошного кабеля только на 10%-
Мы говорили выше об индуктивности и емкости на единицу длины кабеля. Эти
понятия нуждаются в обосновании, и в свое время
мы к этому вернемся1. Теперь же мы перейдем к рассмотрению другой
физической задачи, практически чрезвычайно важной.
Пусть через звеньевой проводник передается напряжение от источника к
потребляющему аппарату. Практически дело часто обстоит так: источник
создает не синусоидальное напряжение, а набор синусоидальных слагаемых
разнообразных частот. Желательно, чтобы некоторые из этих слагаемых
проходили, а другие задерживались. Иначе говоря, нужно профильтровать
напряжение, создаваемое источником. Так как мы рассматриваем линейную
систему, то для того, чтобы овладеть проблемой, достаточно рассмотреть,
как ведет себя эта система под действием синусоидальной силы
S = cos pt,
где р - заданная частота.
Ответ будет различным, в зависимости от того, каков потребляющий аппарат.
Оставим конец фильтра открытым и будем интересоваться напряжением на этом
открытом конце. Если на конце
La/b Ь0/Ь bat^ Ьо/й
ЧШГ'тИШГ'*
== С0!2
х
, С01 z
Рис. 131.
1 [См. 3-ю лекцию части II.]
ТРИДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
317
включен какой-нибудь аппарат, то, вообще говоря, вся картина искажается.
Но если этот аппарат имеет большое внутреннее сопротивление, то решение,
которое мы получим для открытого конца, даст практически правильный
ответ.
Вернемся к общей постановке задачи. Это - задача не о собственных, а о
вынужденных колебаниях.
Реальный фильтр обладает потерями. Вследствие потерь собственные
колебания затухают, и под действием периодической силы устанавливаются
колебания с периодом силы. Их мы и хотим найти. Наличие затухания мы
учтем с самого начала тем, что будем рассматривать периодическое решение.
Но, не вводя затухания в уравнение, мы не получим зависимости амплитуды
вынужденных колебаний от затухания. Так можно поступать только в том
случае, когда затухание мало.
Будем искать периодическое решение с частотой р. Прибегнем к тому же
приему, что и при изучении собственных колебаний1. В случае, когда
включен источник внешней силы (рис. 132), первое уравнение (1) должно
быть заменено уравнением
Lq(1) t - 7(2)) = S cos pt.
Остальные уравнения (1) сохраняют такой же вид, как в задаче о
собственных колебаниях. Получаются несимметричные уравнения, и это
нежелательно. Но как сохранить для всех к, включая &=1, одинаковый вид
уравнений? Выход заключается в следующем: нужно написать для k= 1
уравнение
цт ^ (9(1) _ ^ _ ^(0)) = о
и потребовать в решении, чтобы было
- ^ (<7(1) - <7(0)) = S cos pt. (6)
L L L
(~) ? cos pt
X
Рис" 132.
1 [См. 29-ю и 30-ю лекции.]
318
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Такой прием обычен в вопросах распространения волн при точечных
источниках.
Итак, мы требуем, чтобы удовлетворялись все прежние симметричные
уравнения, но дополнительно требуем, чтобы выполнялось условие (6) на
одном конце и условие
q(n+i) _ о
на другом конце. Решать уравнения (1) мы будет при этом обычным способом,
полагая
q(k) - А{к) cos pt.
Формально мы получим такие же уравнения, как и раньше:
(| - v) Ат -1 С4(*415 -4- А^) = 0. (8)
Разница по отношению к разысканию собственных колебаний со-
.(t)
стоит в том, что здесь частота р задана и надо искать только А . Если мы
сделаем, как прежде, подстановку sinA(3, то неизвестно, сможем ли мы
удовлетворить уравнениям (8). Попробуем выражение типа е*7, которое более
гибко.
Итак, подставим в (8)
А^^ае*'1.
Как легко видеть, мы получим для определения у уравнение
(?-+ 0 = 0, (9)
которое является квадратным уравнением по отношению к ет. Интересно то,
что в зависимости от величины р значение у, которое получается из (9),
будет либо чисто мнимым, либо комплексным. В этих двух случаях фильтр
ведет себя совершенно различно.
Если р таково, что
12 - L Ср2 ] < 2, (10)
то мы удовлетворим (9), взяв
Т = /Р>
где р - действительная величина. Действительно,
е'Р -+- е~*$ = 2 cos В ^ 2.
ТРИДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
319
Если у = ф удовлетворяет уравнению (19), то у =-ф тоже удовлетворяет ему,
так что уравнения (8) имеют при этом решение
Ат = ае'*$ + be
Так как амплитуды Ат действительны, то нужно взять а и Ь комплексно
сопряженными:
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed