Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
нашу основную задачу.
Если 0(х) для х = 0 равно ух-ьтг, ух-+-2~, ух -+- Зтг,..., а для х = 1
соответственно: у2 ~, у2-г-2тс, у 2ч-Зтг,..., то это д ^ дает то же
самое, поскольку тангенс
периодичен с периодом тг и краевые условия удовлетворяются, a sin2 и cos2
тоже периодичны с периодом -к, и,
следовательно, уравнение (25) тоже удовлетворится. Мы получим
другое
решение для 0, а именно: 02 = 01н-тг, но это не даст ничего нового по
отношению к первому решению.
Но можно поставить другую задачу: оставить первое граничное условие О(0)
= ух и задать новое граничное условие для х - I, а именно: 0(/) = = Уа
"+¦ л~. Если мы решим эту задачу, то для 0 (х) получится другая функция,
отличная от 0 (х) при п = 0.
Если при любом целом п мы сможем найти такое ~к, что соответствующее 0
(х) удовлетворяет граничным условиям
0(0) = ух, 0(/) = Т2 + ^,
то этим будет доказано, что исходное уравнение (20) имеет бесконечное
множество собственных значений.
Доказательство проводится вполне строго. Оно становится гораздо
нагляднее, если поясняется геометрически.
Нелинейное уравнение (25) мы решить не можем. Но мы можем вывести из него
интересующие нас свойства функции 0(х). Из уравнения (25) видно, что при
Л положительном 0 (х)-монотонно возрастающая функция. В самом деле, ее
производная всюду положительна (она не может обращаться в нуль, так как
cos 0 и sin 0 не могут быть равны нулю одновременно).
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
431
Рассмотрим уравнение (25) при различных X. Величину Хц (л) обозначим
через с (х):
9' = cos2 6 -t- ст (х) sin2 0.
Обозначим индексами 1 и 2 две различные функции ч (х) и соответствующие
им 9 (х):
6'j = cos2 01-+- ">i (л:) sin2 0,,
0'2 = cos2 02 -+- ч2 (х) sin2 02.
Пусть всюду
Ч (х) > <4 (х).
Кривые 0-^ (х) и 02(х) обе монотонно поднимаются с ростом х. Они могут
пересекаться. Если они пересекаются, то только так, что при увеличении х
за точку пересечения 02 идет выше 0Х (рис. 169, а). Они не могут
пересечься так, как на рис. 169, б поскольку производная Ь\ меньше
производной 0'2 (оу меньше, чем <j2). Значит, в точке пересечения Ь\ <С 0
Но, может быть, они пересекаются в точке, где sin 0=0? Для этого значения
х обе производные одинаковы. Тогда кривые касаются. Я утверждаю, однако,
что и здесь кривая 62 пойдет выше. Действительно, кривые касаются в одной
точке (они не могут касаться по целому отрезку). Для соседних
интегральных кривых зт02=Д=О. Различные интегральные кривые 02
пересекаться между собой не могут (особых точек нет). Значит, и в этом
случае после пересечения (касания) кривая 02 пойдет выше 0Г В итоге мы
заключаем, что если кривые 0Х и 62 один раз пересеклись, то они уже не
могут пересечься второй раз.
Будем теперь сравнивать функции 0 (х) для различных л при одном и том же
(Дх). Будем рассматривать решение как функцию от X. Функция с>(х) = Х<7
растет при любых х вместе с X.
Теперь ясно, как мы докажем, что существует бесконечная
последовательность собственных значений.
Если 0Х и 02, соответствующие Х = Хх и Х = Х2 (Х2>Х3), выходят при х = 0
из одной точки, то значит, при х>0 всюду 02>01, так как кривые не могут
пересекаться. Чем больше значение X, тем выше проходит кривая 0 и тем
выше она пересекает прямую х = /. Для того, чтобы доказать то, что нам
нужно, необходимо доказать, что при Х = 0 кривая 0 (х) пересекает прямую
х = / ниже точки у2, а при X-> со точка пересечения с прямой х=/
432
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
не стремится к конечному пределу. Первое нужно для того, чтобы доказать
существование наименьшего собственного значения, второе - для того, чтобы
убедиться в существовании бесконечного числа собственных значений без
точек сгущения.
Если эти два утверждения удастся доказать, то теорема будет доказана.
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
(23/1 1932 г.)
Окончание доказательства основной теорел:ы о собственных значениях задачи
Штурма-Лиувилля. Число узлов собственных функций. Оценки собственных
значений. Изменение собственных значений при изменении параметров. Массы
и индуктивности на концах распределенной системы.
Для того, чтобы закончить рассмотрение собственных колебаний
распределенных систем, мы должны сегодня завершить доказательство
фундаментальной теоремы о счетном множестве собственных значений в задаче
Штурма-Лиувилля.
Мы выяснили, что если при заданном целом п можно найти такое 1, при
котором уравнение (25) предыдущей лекции имеет решение 0(х), проходящее
через точки х = 0, 0 = уг и х = /, 9 = - у.) -н л7г, то это X есть
собственное значение нашей краевой задачи, а 0(х) - соответствующая
собственная функция.
Решения уравнения (25) монотонно возрастают с х. Далее мы получили
следующий результат. Если X, и X, - два различных значения X, причем Х.2
Д> X,, так что
а2 (х) = Х2<7 (х) > g} (х) - Xj<7 (х),
и если
9(0, X,) - 0 (0, X-,),
то для всякого х /> 0
0(х, Х2) > 6(х, Xj) (1)
и, в частности,
41, 4) >9 {I, U
Из общей теории дифференциальных уравнений следует, что 0(х, X) есть
