Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
X. (Целая функция означает - не обращающаяся в конечной области в
бесконечность; cosX, е' -
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
427
целые функции л). Итак, ср - целая трансцендентная функция 7, и,
следовательно, ее можно искать в виде ряда по степеням X:
(r)(x, Х)=ц0(*)-ьХкг W + A2W + . • • (18)
Представив решение в таком виде, можно обрезать ряд на каком-нибудь члене
и подставить полученное таким путем приближенное выражение в
трансцендентное уравнение (15). Можно указать рецепт нахождения ряда (18)
и доказать, что ряд сходится для всех конечных значений X. То и другое
легко сделать. Продифференцируем дважды ряд (18):
(c)" = щ" н- Xu/'-"- Х2и2" -+- . .. (19)
Подставим (18) и (19) в уравнение (5) и приравняем нулю коэффициенты при
всех степенях X. Мы получим:
<
щ" = 0, u{-b-qUii = 0,... =
Такова последовательность уравнений, которым удовлетворяют функции ип.
Условия (10), которым должно удовлетворять одно из фундаментальных
решений, будут выполнены, если потребовать
н0(0) = 0, и0'{0) = 1,
а для всех п 0
ип (0) = 0, цв'(0) = 0.
Мы получаем в результате:
щ = х.
Каждая функция ип определяется из предыдущей ип_1 простой квадратурой:
X \
и" - - j dIJ q (r,) u,t _ г (r,) dr,.
о 0
Итак, нахождение cpj(x) [и аналогично %(*)] сведено к последовательному
ряду квадратур. Мы оперировали с рядом формально, но можно показать, что
ряд (18) сходится.
Оборвав ряд (18) на некотором члене, мы заменим трансцендентное уравнение
(15) алгебраическим уравнением той или иной степени. При достаточно
большом числе членов его корни будут как угодно близки к корням
трансцендентного уравнения. Практически для основного колебания часто
достаточно взять 3 - 4 члена
428
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
разложения. Для обертонов приходится брать больше членов и вычисление
становится хлопотливым.
Техника выработала хорошие способы приближенного вычисления, но пока еще
мало оправданные.
Перейдем к доказательству того, что существует бесчисленное множество
собственных значений. Доказательства этой теоремы были даны уже давно.
При этом доказательства проводились для некоторых частных граничных
условий, а затем к ним сводили остальные граничные условия. Недавно
появилась работа Прюфера (она изложена в третьем издании книги
Бибербахах), в которой доказательство проводится сразу для самого общего
случая задачи Штурма-Лиувилля. Изложим это доказательство.
Введем новую переменную
с/ср
Х== dx
II
напишем вместо уравнения (5) два уравнения:
?-у-> ё4-'-^^0- (20>
Положим:
ср = р sin 0, / -pcosG. (21)
Мы вводим, таким образом, две новые функции: р и 9. Имеем:
С~т~ - р7 sin б -+- рб' cos б; ]
, I (22>
-т^= ?' cos 0 - рб' sin б. |
dx 1 1 j
Подставляя (22) в (20), получаем уравнения:
р' sin б -ь рб' cos б-р cos 9 = 0; (23)
р' cos 0 - рб' sin б -+- Х<7р sin б = 0. (24)
Мы можем их преобразовать так, чтобы получилось одно уравнение для б' и
другое для р'. Умножим (23) на cos б, а (24) - на sin б, и вычтем. Это
дает по сокращений на о (мы далее увидим, что р нигде не обращается в
нуль):
O' = cos2 б -ь л р sin2 0. (25)
1 fL. Bieberbach. Theorie der Differentialgleichungen. 3-е переработ.
издание, Берлин, 1930.]
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
429
Далее умножим (23) на sinG, а (24) - на cos 0, и сложим. Мы получим:
Для 0 получилось уравнение (25), не содержащее р. Уравнение (26) решается
посредством квадратуры
Чтобы ее вычислить, нужно сначала решить уравнение для G, а потом
подставить решение в (26). При этом получатся две постоянные
интегрирования.
Первый Hie шаг продвинул нас довольно значительно вперед: мы получили для
6 одно уравнение. Но это куплено той ценой, что уравнение нелинейное.
Можно легко модифицировать подход так, чтобы было удобно находить решение
количественно для случая медленно или мало меняющихся q{x). Но нас
интересует сейчас другое--доказательство существования неограниченной
последовательности собственных значений. Сейчас мы увидим, в чем
заключается сила излагаемого метода.
Перепишем граничные условия (6) и (7) в таком виде:
Мы видим, что в граничные условия вошла только G. Нужно удовлетворить
граничным условиям, куда входит только G, тогда будут удовлетворены и
исходные граничные условия (28).
Так как осх и а2 - одного знака, можно удовлетворить первому граничному
условию, взяв для 0" определенное значение у, в первом квадранте:
о' - о (1 - Ар) sin 0 cos 0.
(26)
х
(27)
In | р | = J (1 - ^p) sin G cos Gt/x H- c.
0
(28)
и подставим в них, вместо у и у, функции р и G:
(уп sin G - а2 cos G)0 - 0, sin G -н [С cos 0)г -- 0.
0<У:<1.
(29)
Но [ij и Р2 тоже имеют одинаковые знаки и, следовательно, в первом
квадранте заведомо нельзя удовлетворить второму граничному условию. Можно
пойти во второй квадрант, там мы
430
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
найдем то, что нам нужно. Мы удовлетворим второму граничному условию,
если возьмем 0j = y2" причем
(30)
о
Теперь вся задача прояснилась. Найдя 9 (х), удовлетворяющее
уравнению (25) и равное ух для х -0 и у2 для х=1, мы решим
