Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
частотой, то, как легко видеть, уже первое звено фильтра - почти короткое
замыкание. Общий принцип работы фильтров, таким образом, ясен.
Большей частью они работают на какие-нибудь нагрузочные устройства.
Открытый конец получается в том случае, если фильтр подключен к сетке
катодной лампы (если нет сеточного тока). Если же фильтр замкнут на
некоторое конечное сопротивление, то нужно изменить граничные условия. Но
пусть на открытом конце фильтра напряжение равно нулю. Тогда оно
останется равным нулю, что бы к нему ни приключили. Так будет, в
частности, если замкнуть конец накоротко.
Часто делают следующую ошибку.
Согласно теории, если p^>2\/LC, то фильтр первого типа (рис. 132)
практически не пропускает. Но возьмем ультравысокую частоту. На опыте
окажется, что фильтр очень хорошо ее пропускает. Мне приходилось слышать,
как на этом основании говорили, что теория никуда не годится. Но никогда
нельзя забывать о предпосылках теории. Мы считали, что в последовательных
ветвях нет емкости, а в параллельных - нет индуктивности. В дей-
(17)
ТРИДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
327
ствительности всякая катушка имеет емкость, а всякие подводящие провода
имеют индуктивность. Мы имеем право схематизировать фильтр так, как мы
это делали, только если частота не слишком высока.
При достаточно быстрых колебаниях "индуктивность" может оказаться
емкостью, а для фильтра это чрезвычайно существенно: вместо ожидаемого
эффекта может получиться эффект фильтра противоположного типа. Нельзя
экстраполировать результат, полученный в предположении, что емкость
катушки мала, на сколь угодно высокие частоты.
Еще большее значение имеют эти соображения в случае акустических
фильтров. Акустики строят фильтр в виде комбинации акустических
резонаторов.
Начнем с разбора акустического резонатора (рис. 134). Пусть V- объем
сосуда, S- сечение цилиндра. Предположим сначала, что цилиндр закрыт
поршнем. Вычислим период собственных колебаний.
Здесь изменяются давление р и плотность р, причем
Д р - а2 Др, (18)
где а-скорость звука3. На поршень действует сила
F=Sbp. (19)
Для определения F мы должны вычислить Др. Имеем: рН= const, откуда
Р ~ V
Но
Д V=Sx, (21)
где х - смещение поршня. Подставляя Др из (20) в выражение (18) и
воспользовавшись (19) и (21), получаем для силы выражение
" а2 р52
F= v-x.
Мы можем теперь написать уравнение движения поршня:
Мх -1- х - 0, (22)
где М- масса поршня.
Лр- Л7 (20)
[Ср. 2-ю лекцию части II.]
328
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Давление во всем сосуде мы считали одинаковым. Поэтому уравнение (22)
справедливо лишь для достаточно медленных колебаний, у которых длина
акустической волны много больше размеров сосуда.
Акустики имеют дело с резонаторами без поршня. При этом они делают
довольно смелую гипотезу, которая при некоторых условиях хорошо
оправдывается на опыте. Они применяют для резонатора без поршня уравнение
(22), понимая под М массу воздуха в цилиндрическом горлышке. Масса всего
остального воздуха не принимается во внимание. На первый взгляд это
странно, ибо остальной объем гораздо больше, но эту гипотезу можно
подтвердить более точным расчетом, а именно для достаточно медленных
колебаний. В этом случае воздух имеет заметную скорость только в
горлышке. Нужно сравнивать не массы воздуха в горлышке и сосуде, а
соответствующие энергии. Оправдание гипотезы в том, что кинетическая
энергия воздуха в горлышке гораздо больше, чем в сосуде. Так как
М- р IS,
где I - длина горлышка, уравнение резонатора принимает вид
+ = (23)
Итак, в теории акустических резонаторов предполагается, что давление
воздуха в сосуде постоянно и что воздух внутри сосуда не имеет
кинетической энергии. Если эти допущения справедливы, то, исходя из них,
можно построить акустический фильтр. Его можно сделать в виде трубы с
перегородками, через которые проходят узкие трубки (рис. 135). В трубках
сосредоточена кинетическая энергия, в камерах-потенциальная.
Если написать дифференциальные уравнения движения для такой цепочки из
камер и трубок, то получится то же, что и для струны с грузами или для
электрического фильтра. Камеры играют роль пружин или емкостей, а трубки
- масс или индуктивностей. Сравнивая дифференциальное уравнение (23) с
соответствующими уравнениями для электрической и механической систем, не
трудно видеть, что
рIS аналогично L или т, a2p"S2/F аналогично 1/С или а.
ТРИДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
329
Отсюда можно заключить, что система пропускает тогда, когда
р<2а
Она является акустическим фильтром для пропускания низких частот.
Для того, чтобы можно было пользоваться этой теорией, длина волны должна
быть велика по отношению к линейным размерам камер. При очень высоких
частотах эта теория совершенно непригодна.
О О О О U "Г)-гг П ГГТТ 0 0 О О ТУ
1
Рис. 135.
Рис. 136.
Укажем еще на механический фильтр В. Ф. Миткевича. Для того, чтобы
обезопасить приборы от сотрясений, он делает "слоеный пирог" из тяжелых
плит, между которыми проложены резиновые трубки или стержни (рис. 136).
