Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Это - некоторый средний путь.
Есть еще третий путь. Тело рассматривается как сплошное. Считается, что
плотность, упругость - непрерывные функции точки. Другими словами, мы
идеализируем рассматриваемое тело как сплошное и применяем к нему
математический аппарат непрерывных функций. Такая "сплошизация" задачи
применяется и при построении макроскопической электродинамики Максвелла
на основе электронной теории Лоренца.
Здесь нужно быть иногда очень осторожными. Спросим себя например, что
такое плотность в данной точке? Чтобы получить плотность, берут массу т и
делят ее на объем V.
Если мы будем уменьшать объем, то будем получать различные значения
частного. Можно искать предел
Если бы вещество было сплошным, то, взяв достаточно малый объем и
уменьшив его вдвое, мы получили бы практически неизменное отношение m/V.
Но мы знаем, что вещество не сплошное. Пусть объем V такой, что в нем
содержится только одна молекула. Что будет, если мы его уменьшим вдвое?
Ни о каком пределе здесь говорить нельзя. Однако, если V не слишком
велико и не слишком мало, то отношение m/V будет приблизительно
постоянным, при условии, что состояние тела заметно изменяется лишь на
расстояниях, больших по сравнению с расстояниями между молекулами. В
кристаллах физики интересуются и такими процессами, где изменение
состояния происходит на расстояниях, сравнимых с расстояниями между
молекулами (высокие собственные частоты колебаний кристаллической
решетки). Но мы будем заниматься только такими процессами, где этого еще
нет.
Повторим кое-что, относящееся к колебаниям цепочки из дискретных частиц,
имеющих одинаковую массу.
Отклонение &-той частицы (ук) удовлетворяет уравнению
d2uk
т -Jfl = а [(№+1-Л) - (Ук-Ук-1)] (к = 1, 2, ..., п). (1)
В правой части стоит разность сил
f-a.Aa,
(2)
336
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
действующих справа и слева (а - расстояние между соседними частицами).
Здесь возможны п колебаний:
Ук - As sin ~~~~y cos (wst -+- <ps) (s = 1, 2, ..n), (3)
причем их частоты даются формулой
= 2 j/sm 2 (п+1)
{имеется п различных частот).
Существенно то, что в выражения для амплитуд и частот входят молекулярные
свойства, свойства отдельных частиц. Если общая масса и длина цепочки не
изменяются, но молекулярные константы а и т, скажем, уменьшатся вдвое, то
результаты (3) и (4) изменятся.
Выразим макроскопические постоянные через молекулярные. Масса р' на
единицу длины есть
, пт т
Р =-г=-а-
(I - длина цепочки), так как 1 = па.
Если приложить силу / к концу стержня, то он растянется на некоторое Д/,
причем
/=?'-Т, (5)
где Е'-"модуль упругости континуума". Относительное удлинение стержня
Д/// равно относительному удлинению каждой "ячейки". Поэтому, сравнивая
(2) и (5), получаем:
__Е/_
а
Рассмотрим случай, когда отношение s/n мало.
Пусть мы имеем одномерную модель действительного кристалла. Здесь п -
порядка 109 или 1010. Если даже s=1000 или 10000, то отношение s/n еще
чрезвычайно мало.
В акустике требование малости отношения s/n ^ограничивает нас довольно
мало. Например, в случае стержня на опыте дальше определенного s идти
нельзя.
Для малых s/n формула (4) вырождается в следующую:
ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
337
Таким образом, в выражение для частот низких тонов входят только
макроскопические величины.
Перейдем к амплитудам. На основании (3), пренебрегая отличием между п и п
+ 1, имеем для амплитуды ук в s-ом колебании:
Сюда входит х - ка - расстояние &-той точки от начала. Справа стоит
функция от х. В случае дискретной системы она имеет смысл только для
определенных (дискретных) значений х. В сплошной системе она имеет смысл
для непрерывно меняющегося х; здесь она определена для любого х, и
Итак, сначала у нас было п функций yic{t), определенных для дискретных
значений к. Они удовлетворяли обыкновенным дифференциальным уравнениям
второго порядка. Теперь (при сплошности) у нас одна функция у (х, t) от
двух непрерывно меняющихся переменных. Во что обращаются дифференциальные
уравнения? Легко видеть, что теперь имеется дифференциальное уравнение,
связывающее производную от функции у(х, t) по х и ее производную по t.
Вот это уравнение:
При переходе к сплошной системе мы получаем, таким образом, одно
дифференциальное уравнение, но в частных производных. В том, что наше
у{х, t) удовлетворяет уравнению (6), легко убедиться простой
подстановкой.
Пусть, например, s = 2. В этом случае частота
Иногда вводят вместо линейной плотности р' обычную плотность (на единицу
объема):
22 Л. И. Мандельштам, том IV
у (х, t) - Ав sin cos ("V <р,).
Е' д2у _________ О2у
р' дх2 dt2
(6)
Умножив v2 на длину волны \= I, получим:
338
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
(q - площадь поперечного сечения), причем
Eq = E'
(Е-модуль Юнга). Мы можем написать вместо (6):
г &я___
а дх2 dt2 '
где
Всюду пишут: а есть скорость распространения колебаний, так как скорость
распространения волн есть
и = А V.
Но я хотел бы здесь предостеречь от ошибок. Что такое скорость? Какое
