Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
любом представлении приобретает еще дополнительные дискретные матричные
индексы.
Важную информацию о динамических системах дает изучение свойств симметрии
этих систем. Чтобы четко понимать, что подразумевается под словами
"симметрия динамической системы" или "симметрия квантовой системы", мы
сейчас обсудим более широкий вопрос о симметрии уравнений вообще,
поскольку именно изуче-
16
ние свойств симметрии уравнений для волновой функции (2.1) пли функции
Грина (2.8) позволяет сделать заключение о симметрии физической системы,
описываемой этими уравнениями.
§ 3. Симметрия уравнений
Обсудим здесь вопрос, что будем понимать под симметрией уравнения [11].
Пусть имеется функция ф(жл,. . ., жп). Эта функция может быть конечно-
или бесконечномерным столбцом. Рассмотрим соотношение
А<. р = 0, (3.1)
где А для простоты будем считать линейным дифференциальным оператором,
хотя для дальнейших рассуждений это несущественно (ои может быть любым:
интегральным, интегродифференциаль-пым, нелинейным и т. д.). Обычно под
симметрией соотношения (.3.1) понимают совокупность таких преобразований
координат и функций, которые образуют группу и не меняют его вид. (Однако
такая симметрия не объясняет вырождения уровней трехмерного осциллятора,
волновые функции которого, как показали Яух и Хилл [33], реализуют
представления (/(З)-группы.) В этом случае под симметрией понимают
совокупность операторов Ва, образующих алгебру Ли и удовлетворяющих
соотношению
[А, ВаI = 0. (3.2)
(Ипдекс а принимает конечное пли бесконечное число значений.) Это понятие
о симметрии является более широким, так как оно включает в себя
предыдущее, потому что если имеются конечные преобразования координат и
функции, сохраняющие вид уравнения, то всегда, переходя к бесконечно
малым преобразованиям, найдем алгебру Ли операторов, удовлетворяющих
(3.2). Будем понимать симметрию в еще более широком смысле, исходя из
следующего соображения. Всегда, когда говорят о симметрии уравнения
(3.1), имеют в виду, что если найдено какое-то решение, то с помощью
преобразований симметрии можно получить и другие решения; иными словами,
пространство решений является базисом представлений той группы или
алгебры Ли, которую считают симметрией задачи. Эту симметрию можно найти,
если определить операторы Ва (дифференциальные, интегральные, нелинейные
и т. д.), образующие алгебру Ли (копечномерную или бесконечномерную) и
удовлетворяющие соотношению
[А, Ва]Ф - 0, (3.3)
т. е. коммутирующие с оператором А не тождественно, а на множестве
решений уравнения (3.1). Очевидно, что операторы Ва переводят одно
решение в другое. Подобное определение охватывает
17
предыдущие, так как операторы, удовлетворяющие соотношению (3.2),
образуют подалгебру алгебры операторов, удовлетворяющих (3.3). Удобнее
говорить не о группе, а об алгебре Ли, так как с группы всегда можно
перейти к алгебре Ли, а классифика-цня решений с помощью квантовых чисел
- это классификация с помощью представлений алгебры Ли. Интересным
является такой вопрос: какие неприводимые представления группы симметрии
уравнения (3.1) реализуются в качестве решений? Из примеров ясно, что по
все представления, которые есть у группы, реализуются па ретпоииях. Так,
решения трехмерного осциллятора реализуют лишь (ге, 0, 0)-прсдставления
?7(3)-группы. Более того, может случиться, что реализуется лишь одно
представление группы (часто это и есть динамическая группа системы).
Такое определение симметрии уравнений дапо в работах [11, 31], подобное
же определение дано и Андерсоном, Кумеем и Вульфмаиом [481. Заметим, что
оператор А может быть любым оператором, описывающим физическую проблему,
в частности:
а) А = Ж - уравнение Шредингера;
б) .4 - -А Жс1 (<7i Р) - уравнение Гамильтона - Якоби;
в) А - -----щ- уравнение Эйлера - Лагранжа;
г) А == Гц -{- Г0 - конечно- и бесконечно компонентные
уравнения теории поля.
Покажем, что в классической механике приводимое и в дальнейшем широко
используемое для изучения квантовых систем определение симметрии (3.1),
(3.3) позволяет провести анализ преобразований, которые допускает
система, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка.
Рассмотрим, следуя Картану ([4011, стр. 108), механическую систему,
траектории которой удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных
уравнений вида
dxr _ dx2 __ dxn
X, - X, • ' • X '
1 I п
Легко проверить, что первый интеграл ср(ад, t) этой системы удовлетворяет
уравнению вида А<р = 0, где оператор А = ^Х^д/дх;.
г
В книге Картана [401I исследуется вопрос: когда приведенная система
уравнений допускает инфипитезимальное преобразование, задаваемое
оператором вида В - (х) 9/дх^ ? Это озна-
i
чает, что если ф - первый интеграл, то и Вф - первый ин-
18
теграл системы, т. е. А (By) - 0. Таким образом, А (В<р) - - /?(Аф) = 0.
В [4] показано, что [Э/Лф = рКф, где р - некоторый коэффициент. Таким
образом, мы видим, что для классической механической системы
