Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 10

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 123 >> Следующая

действуют операторы /г, Ри М^, 1 на волновые функции атома водорода,-
иными словами, будем считать, что в правой и левой частях равенств (6.8)
в Ili"is,...,i принято Ц - 1. Новые, таким образом пределенные операторы
удовлетворяют тем же самым коммутационным соотношениям, что и
дифференциальные операторы (6.4). Б этом можно легко убедиться
непосредственной проверкой.
Следовательно, формулы (6.8) при Щ = 1 задают представление алгебры
операторов (6.4). Операторы /; переводят уровень N в N + 1, а операторы
/Д - в N - 1. Это означает, что из любого состояния последовательно можно
получить всю совокупность состояний атома водорода. 0(4)-симметрпя
позволяет по одной волновой функции узнать все волновые функции,
принадлежащие одному уровню. Более широкая 0(4,2)-симметрия позволяет
восстановить и все функции, принадлежащие любым другим уровням.
Таким образом, в пространство II =2 (c) t , где 2 (c) -
прямая сумма пространств функций, отвечающих данному N. построено
бесконечномерное представление алгебры операторов
(6.4) или их линейных комбинаций (6.5). В силу формул (6.8) базис
пространства II можно получить, последовательно действуя на единицу
оператором /,. Докажем, что представление неприводимо. Действительно,
если бы существовало ненулевое инвариантное подпространство Й
относительно всех операторов (6.5), то оно было бы инвариантно и
относительно компактной подалгебры операторов М^. Как хорошо известно,
представление компактной алгебры распадается в прямую сумму неприводимых
представлений. Следовательно, в Н содержится хотя бы одна тензор-
24
ная степень П^, Действуя последовательно на оператором Р;, в конечном
итоге получим единицу, а как отмечалось выше, пространство Н натянуто на
единицу.
Таким образом, пространство й совпадает с Н. Этим полностью доказана
неприводимость представления алгебры 0(4,2) в пространстве Н.
Нетрудно проверить, что операторы Казимира для написанного представления
принимают следующие значения:
Cj = /jijfZ/fci = G, Cg = Т;тТПр = О,
/' __ т т т т , _ ______\ 2 (в-9)
^г-^1^т1^тп1^пг - 1?.
Алгебра 0(4,2) содержит подалгебру де Ситтера S ~ 0(4,1), состоящую из
операторов L,,-, где ?, / = 1, . . ., 5. Замечательно, что построенное
выше представление остается неприводимым и относительно подалгебры
0(4,1). Вычислим операторы Казимира этой подалгебры:
Q = Li}L}i = 4-4-$+ 1)2-^-;
W = WaWa^O; Wa ?at)V6nLPvLty. (,)Л0)
Следовательно, i = 4ll|")...,j . Это указывает па
неприводимость представления алгебры 0(4,1). Полное доказательство
неприводимости этого представления аналогично вышеизложенному
доказательству неприводимости представлепия алгебры 0(4,2).
На первый взгляд может показаться, что в проведенном рассмотрении
динамической симметрии 0(4,2) атома водорода имеется противоречие.
Действительно, операторы (6.4) переводят решения уравнения (6.3) в новые
решения этого же уравнения, но переводят ли они решения уравнения (6.1) в
решения этого же уравнения?
Этот вопрос разрешается следующим образом. Операторы (6.4) не переводят
решения уравпения (6.1) в решения этого же уравнения. Однако новые
операторы, имеющие матричные элементы, задаваемые формулами (6.8), ужо
обладают таким свойством, при этом они удовлетворяют коммутационным
соотношениям (6.6) и операторы Казимира для этих операторов имеют
значения, даваемые формулами (6.9).
Таким образом, при построении динамической группы симметрии 0(4,2) атома
водорода мы поступим следующим образом. Сначала в соответствии с [3]
сводим уравнение Шредингера для дискретных состояний атома водорода в
импульсном представлении к четырехмерному уравнению Лапласа. Затем
используем известное свойство конформной инвариантности этого уравнения и
явный вид генераторов конформной группы для построения в явном виде
матричных элементов операторов представления группы
25
0(4,2), действующих уже на дискретных состояниях атома водорода, т. е. на
решениях уравнения (6.1). Таким образом, уравнение (6.3) и генераторы
(6.4) используются как вспомогательный прием для нахождения операторов
группы 0(4,2) (в матричном виде), действующих в пространстве стационарных
состояний атома водорода. Другие реализации этого представления группы
0(4, 2) в пространстве состояний дискретного спектра атома водорода
построены в работах [12-16].
§ 7. Динамическая симметрия
для нерелятивистской частицы в магнитном поле
Рассмотрим сначала нерелятивистскую частицу со спином V2 в однородном
магнитном поле, следуя обычному изложению [52,53]. Гамильтониан,
описывающий поведение частицы в этом случае, имеет вид
где А = [Н X тМ2; р - магнитный момент частицы; о - матрицы Паули.
Удобно в дальнейшем ввести новые переменные:
а магнитное поле направлено по оси z. Легко видеть, что операторы
проекции импульса pz, проекции момента Мг = [т X р]х, а также проекции
спина oz и координаты "центра окружности"
^0 = х+(Ру - еАу.)/пга>; у0 = у - (рх - еАх)/ты (7.4)
коммутируют с гамильтонианом (7.1) и являются интегралами движения.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed