Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следуя работе [52], где применялся метод факторизации Шредингера [54,
55], введем два вида операторов - уничтожения и рождения:
- eAf- роН (с = Гг = 1), (7.1)
I = х \iy- Улш; ?* = -2 гу • Уты;
х= z + z* ¦ ,• .
(7.2)
здесь частота со задается формулой
со = еН/т,
(7.3)
а = [.Рж - еАх - i(py - еАу)](2ты) */*; а* = \рх - еАх + i(pv -
еАу)](2ты)~'1\
и коммутирующие с гамильтонианом (7.1) операторы
Ъ = (х0 - iy0) Y ты/2 > У = (^о + ^/о) У ты/2 . (7-6)
26
В переменных ? эти операторы имеют простой вид:
а = - (ilVm + д/dl*); а* = (i/\f 2)(1* - д/ft); ? ?)
ъ = (l//2)(g* + d/dl); bt = (МУШ - д/д1*).
Легко проверить, что операторы а, а1, Ь, Ы удовлетворяют коммутационным
соотношениям
[a, af] = [6, = 1;
(7.8)
[а, Ъ] = [а, = [а"*, Ъ] = [al, Ы] = 0.
Используя эти операторы, легко переписать гамильтониан в виде
Ж = сй(а$а + 1/г) - [iozH -f- р\/2т. (7.9)
Так как операторы Ж, pz, коммутативны, собственные функции гамильтониана
(7.9) можно представить в виде
'Иер^ = ФП1 (s, s*) exp (ipzz) Xs7z!, (7.10)
гДе Xsz - двухкомпонентный спинор, являющийся собственным вектором
оператора oz: oz xl1 = 2szXjz, а функция Ф?11 (|, ?*) определяется
уравнением
со(0*0 + 1/2)ФП1 (|, 5*) = 6*). (7.11)
Очевидно, что спектр энергий дается формулой
Е = Et - 2^Hsz -Ь р\/2т. (7.12)
Собственные функции ФП1 (|, |*), удовлетворяющие уравнению (7.11),
находятся следующим образом. Рассмотрим состояние Ф<нД> Vе) = | 0, 0>
такое, что
аФ00 = ЬФоо = 0; \ | Фоо I2 dxdy = 1. (7.13)
Используя вид операторов а и Ь (7.7), легко находим
Фоо = Ут'л/2я ехр(- |?|2). (7.14)
Определим состояния
Фп^К,^) =^Д^|0,0>, (7.15)
У пх\п^\
тогда
Г *
J ФПгПгФтгтг^Х dy = SmTniSn2m2' (^'16)
В переменных ?
= /^^^^(i*-^)ni^exp(-|SP).
(7.17)
27
Легко проверить, что
со (at а + 1/2) I Щ, и2> = (пг + V2)co | щ, и2>. Таким образом,
Et = <в(их + V2)
(7.19)
(7.18)
и каждое значение Et бесконечнократно вырождено по числу и2.
Отметим, что | щ, и2> суть собственные функции операторов Мг
2 2 ! 2 и г0 = х0 + у0:
Mz | пи п2> = (п2 - пj) | пг, п2>;
В случае электрона (ц = е/2т) появляется дополнительное специфическое
вырождение уровней энергии Ландау. Два состояния
обладают одинаковой энергией. За это вырождение отвечает дополнительная
спиральная симметрия гамильтониана (7.1). Рассмотрим операторы
которые коммутируют с гамильтонианом и операторами Ъ, Ъ^-
На пространстве состояний с щ > 0 можно ввести нормированные операторы
образующие алгебру SU(2):
где фигурные скобки обозначают антикоммутатор.
На состояниях (7.21) реализуется спинорное представление спиральной
8'С/(2)-группы. На состоянии с пх - 0, sz = -V2 операторы Хг, Х2
аннулируются, и остается один оператор. Построенная алгебра операторов
аналогична спиральной алгебре, найденной в работах для моделей
релятивистского атома водорода и свободного уравнения Дирака [56].
Рассмотрим [359] пространство состояний D с фиксированным импульсом pz и
проекцией спина sz. Базис в этом пространстве
г? | "1, га2> = X | пи п2у.
(7.20)
"х + 1, и2, sz = -V2, pz>; | их, и2, sz = 3/2, pzy (7.21)
Zi = [ao+ (а^а)-1/2 -f- (fl/a)_,/*fl/a_]/2;
X2 = [aa+ (ata)-1!2 - (a?a)-'/* a^a_]/2i; (7.23)
Z3 = Стз-
образуют функции
П1";з2 = Фп1п. (Ы*) exp (ipzz)xJ;. (7.25)
Рассмотрим алгебру операторов
А-1\ = cJ"ciy Av& - of Ъ-) A13 = iof (of a -j- b^b -j-
A^i = b^ a, ^22 - b^b, A23 = ib^ (of a -|- b^b -j- l)1-^ 2g^
A31 = i (at a btb -f- 1 )7*a,' A32 = г (ata -f- b^b -f-
1)7*6;
A33 = - (ata -f- btb -f-1), удовлетворяющих коммутационным соотношениям
[Aik, Atm] = 6lnAim ?>1тАц{. (7.27)
Операторы (7.26) образуют алгебру ?7(2,1). В пространстве
D реализуется одно бесконечномерное унитарное неприводимое представление
алгебры С/(2,1). Для этого представления опера-
торы Казимира имеют вид
Ci = Ац = - 1; 62 = A-ixAici = - 1; С3 = А^Ау^Ац = - 3.
(7.28)
Подалгебра операторов Ai1t(k = 2, 3), коммутирующих с гамильтонианом
(7.1), образует алгебру ?7(1,1). В силу этого пространство состояний Dт,
базисом в котором служат состояния (7.25) с фиксированными числами pz,
sz, nlt является инвариантным подпространством относительно алгебры
?7(1,1). Таким образом, все пространство D разбивается в прямую сумму
подпространств Dni, базисом в которых являются состояния (7.25) с
фиксированным пг:
?7=2 Dni. (7.29)
п,=0
В каждом подпространстве D П1 реализуется одно неприводимое
бесконечномерное унитарное представление алгебры ?7(1,1)
(дискретная серия, см. работы [57, 58]). Это легко следует из того,
что операторы Казимира
С3 = 2 An] Ci - Ai^A'ii
1-2 t, fC=2
на подпространстве Dni имеют следующий вид:
С3 = -п1 - 1; Cj = п\ -f- -f- 1. (7.30)
Таким образом, в представление динамической алгебры ?7(2,1), описывающее
дискретную часть энергетического спектра задачи о заряженной частице в
магнитном поле и задаваемое операто-
2Э
рами Казимира (7.28), однократно входят все представления алгебры
симметрии 27(1,1), задаваемые операторами Казимира (7.30). Следует
отметить, что поскольку в ?7(1,1)-группе существуют две картановские
