Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
что у операторов координаты и импульса
нет инвариантных подпространств. Операторы Ал и Ал образованы как
линейная комбинация операторов координат и импульсов (причем с помощью
линейного преобразования, имеющего обрат-
ное), поэтому у набора всех операторов Ац и А* тоже нет инвариантных
подпространств.
Уравнения (1.3) эквивалентны нелинейным уравнениям (эти нелинейные
уравнения использованы в работах [89, 71])
-|L|e*| +Q8k(f)|ek|--iiV=0- (1.5)
* fr *
Можно теперь строить когерентные состояния У-мерного осциллятора с
зависящими от времени произвольным образом частотами как нормированные
собственные состояния интегралов движения (1.2). Поскольку построение
когерентных состояний бази-
руется только на свойствах операторов Ак, Ал, можно применить
38
всю технику и результаты, описанные в § 9 гл. I. Подчеркнем, однако, что
мы отталкиваемся при построении когерентных состояний не от каких-то
произвольных операторов с бозонными коммутационными соотношениями, а от
операторов - интегралов движения. Это важнейший пункт подхода, проходящий
красной нитью через все последующие главы. Определим унитарный оператор
N
D(a) = Д expK^ - a*4fc); а = (аь ... , aN), (1.6) "=1
где - произвольные комплексные числа, и построим нормированное состояние
10, ?>. = П ехР
"=1
Л10, 0 = 0. (1.7)
Эта волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера с гамильтонианом
(1.1) и условию нормировки
оо р/
jj. .. ^ Д <1х% /я~1/21 Ек |-1 ехр
- оо h'=1
г*Ц)
= 1. (1.8)
Действуя на вакуумное состояние (1.7) унитарным оператором сдвига (1.6),
получим явное выражение для волновой функции когерентного состояния:
| се, О = Д ехр \ а* + | а*12 )
(1.9)
К=1
Поскольку операторы Ак инвариантны, волновая функция автоматически
удовлетворяет уравнению Шредингера, что можно проверить и
непосредственным дифференцированием.
Имеют место следующие формулы:
Ак | а, ?> = а 1с | се, ?>, N г ¦ *
^ .. . jj Д darjf я-'/* | |_1 exp
-°° K=1
(1.10)
2e
1
_L (i±
~ 2 u*
- + 1а* 12
'8K -
N
Pf + IP*)*
= Д exp[p*iak - 4-(1аЛг + IPftl2)] • (1-11)
39
Кроме того, выполняется соотношение полноты
-оо к-1
. УЦ,
Хн - 1 -Г-5-
2
'¦* " ' " её* ( . Г2ч*
** 2-^-U; +
d2 ak =
4 \ *
N
= П й К - xk)- (1.12)
k=i
Здесь под d2ak понимается произведение дифференциалов d?ak = d(Reafc)
dflmaj).
Когерентные состояния | л, ty являются производящими функциями для
собственных состояний самосопряженных операторов 1к = АкАк, рассмотренных
в [89]:
оо Tij nN
| ехр (--ЦП) ? (1.13)
nltnN - О
Функции | п, ty удовлетворяют условиям
Ik\n, ty = щ\п, t>; (т, t\n, ty = 6пт. (1.14)
N
Здесь | а |2 = 2 I ак |2> п = (геь п2,..., nN), a пк - целые не-
к=1
отрицательные числа. Собственные состояния J п, ty строятся с помощью
линейных интегралов движения Ак следующим образом:
N N mV*
I", о = П К'*> = ПтнЬН0, ^1Л5^
.=1 "(V)'2
Явное выражение для собственных функций оператора 1к можно получить из
явного выражения когерентного состояния | а, I}, если использовать
производящую функцию для полиномов Эрми-та [223, 88]. Разлагая в ряд по
переменным ак когерентное состояние | се, ty, получаем
ти/2
I ".*> = П (-^г) е*я1/,)",/* ехр (^- Х\ ) Н пк • (1.16)
Эти формулы являются тривиальным обобщением результатов Хусими,
полученных для одномерного нестационарного квантового осциллятора [85].
Когерентное состояние | a, ty, а также собственные функции | п, t}
оператора 1к для /У-мерного нестационарного осциллятора получаются как
произведение соот-
40
ветствующих состояний для одномерного осциллятора. Ясно, что когерентные
состояния одномерного осциллятора с зависящей от времени частотой
являются решениями гауссовского вида, т. е. экспонентой от квадратичной
формы. Гауссовские пакеты для нестационарного одномерного осциллятора
впервые были построены в работе [85], где также найдена функция Грина для
такой системы. Используя когерентные состояния, легко получить эту
функцию Грина для рассматриваемой многомерной системы с помощью
соотношения полноты, вычисляя интеграл j . . . j d2a | a, x2, t2> <a, хг,
h |. В результате вычисления этого интеграла получаем следующее выражение
для функции Гри-
ся М-морпым вектором: х = (хг, . . ., х_\).
Чтобы выяснить физический смысл когерентных состояний | a, t} и
интегралов движения Ак (t), рассмотрим их предельные выражения при
стремлении частот колебаний ?3^ (t) к постоянным значениям ?3^. Для
простоты предположим, что функции ?3ft (t) = - ?3])ппри временах t <( 0и
?3fc (t) - ?3* при t -оо, где ?3"'г являются константами. Тогда в пределе
t -+ со существуют полные системы функций начальных когерентных состояний
| a, in> и конечных когерентных состояний | j}, f>, а также
ортонормирован-ные полные системы функций, являющихся собственными
состояниями с заданными энергиями колебаний, начальными состояниями | п,
in> и конечными состояниями ) т, f>. Между начальными и конечными
состояниями происходят переходы, и можно рассчитать амплитуды этих
переходов. Общее выражение для амплитуды перехода, связывающей начальное
