Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Связь (9.33) и (9.34) такая же, как и связь разложений в интеграл Фурье
по системе функций exp(ifcr), а также четных функций по системе функций
cos кх и нечетных по системе sinкх. Таким образом, единичную матрицу
(9.33) можно представить в виде
В _ (f I) . (9.35)
Заметим, что строить четные и нечетные когерентные состояния | а+У и |
а_У можно, диагонализуя коммутирующие операторы I и А, поскольку
А | а±> = а21 а±>; I | а+> = + | сц->. (9.36)
Используя известное разложение
оо
|а>= ехр(-^)?^|">, (9.37)
71=0
легко написать соответствующие разложения для четных и нечетных
когерентных состояний:
оо
|a+> = exp(--!^)^^|2">;
' (9.38)
к >-"р(-^)?^|2. + 1>.
П=0
Следовательно, если известно состояние | а+> или ) а_У, то, умножая его
на фактор ехр (| а |2/2) и разлагая в степенной ряд по переменной а2,
получим собственные четные (нечетные) функции квадратичного интеграла
движения N = аАа.
Мы так подробно остановились на простых и очевидных свойствах четных и
нечетных когерентных состояний, поскольку данные свойства переносятся на
любую систему, описываемую в представлении когерентных состояний. Кроме
того, проведенное разбиение когерентных состояний на четные и нечетные
легко обобщить в том смысле, что можно применять к точке комплексной
плоскости не только операции из небольшой группы инверсии, но и операции
из произвольных групп, в частности группы трансляций, а также двумерных
кристаллических групп. Действие таких групп на точку а приводит к
разбиению всех когерентных состояний по представлениям рассматриваемой
группы. Эти представления приводимы. Выделяя неприводимые компоненты,
можно использовать хорошо разработанный аппарат теории представлений для
доказательства ортогональности и полноты различных подсистем когерентных
состояний. Именно эта схема и была применена при введении четных и
нечетных когерентных состояний [65, 66].
Глава II
Когерентные состояния и точные решения для простых нестационарных
квантовых систем
§ 1. Когерентные состояния осциллятора с зависящей от времени частотой
G этого параграфа мы начинаем рассмотрение когерентных состояний
нестационарных квантовых систем.
В настоящей главе будут подробно изучены простые, но важные в физических
приложениях нестационарные квантовые системы, их изучение будет
проводиться с помощью метода интегралов движения с существенным
использованием представления когерентных состояний. Данный метод был
предложен и использован в работах [67-84]. В следующей главе этот метод
будет обобщен на произвольные квантовые системы, но цель настоящей главы
- максимально подробно продемонстрировать свойства метода на легко
обозримых и физически важных моделях. Сначала будет рассмотрена система с
квадратичным гамильтонианом- нестационарный квантовый осциллятор с
зависящими от времени произвольным образом частотами колебаний.
Одномерный квантовый осциллятор с переменной частотой рассматривался в
работе Хусими [85], который получил точное решение уравнения Шре-дингера,
функцию Грина и матричные элементы оператора эволюции в виде рядов.
Осциллятор с постоянной частотой, возбуждаемый нестационарной силой,
рассматривался в работах Фейнмана [86] и Швингера [87]. В настоящем
параграфе будут найдены все линейные интегралы движения этой системы,
построены когерентные состояния и с их помощью определены амплитуды и
вероятности переходов между энергетическими уровнями. Иным способом эта
задача решается в {92, 186, 204].
Рассмотрим квантовую систему, описываемую гамильтонианом
N Г 2
^ = Z m- + iM*QUt)4], (1.1)
К = 1 L *
где Хк - обычные канонические координаты, р% - сопряженные им импульсы,
частоты (t) - произвольные непрерывные функции времени и Мк -
соответствующие массы. Для простоты изложения положим Мц = 1; это
означает переход к новым координатам Мк3 Як, которые обозначаем по-
прежнему через хк.
37
Волновое уравнение имеет вид
N
{iT--s-5>S + ?1,,(t)l"1}'I'"° (*-*)•
К=1
Будем решать эту задачу методом интегралов движения. Для этого найдем все
независимые интегралы движения. В эти операторы время уже входит явно и
они не должны коммутировать с гамильтонианом. Операторы - интегралы
дьижения - должны удовлетворять только тому условию, что полная
производная по времени от них равна нулю. Это приводит к следствию, что
квантовомеханическое среднее от таких операторов не зависит от времени.
Равенство нулю полной производной по времени от оператора эквивалентно
его коммутативности с оператором id/dt - Ж. Можно непосредственно
убедиться, что операторы
Ak(t) = i 2-'ДеДОл - MO**]', к = 1, 2, . . ., N, (1.2) где функции eK(t)
суть определенные решения уравнений
• dr
e* + Q"(*)es"=U; ек = | ек |ехр (i. , (1.3)
коммутируют с оператором id/dt - Ж и являются, таким образом, интегралами
движения. Имеют место следующие коммутационные соотношения:
[А*, = [At, Л,] = [4, AU = 0. (1.4)
По теореме Стоуна - фон Неймана 2N операторов At, А л (к = = 1, . . ., N)
образуют полный набор. Это утверждение получается как следствие условия,
