Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
подгруппы - компактная и некомпактная, то возможна классификация
состояний с заданной энергией при помощи компактной и некомпактной
подгрупп. Собственные функции инфинитезимального оператора из компактной
подгруппы дают состояния (7.25), а классификация по некомпактной
подгруппе приводит к непрерывному спектру состояний.
Представляет интерес произвести классификацию состояний и по компактной
?/(2)-подгруппе, образованной операторами , к - 1, 2), т. е. сузить
представление ?/(2,1)-группы (7.28) на компактную подгруппу.
Представления ?/(2)-группы задаются старшим весом (Д, /2), где целые
числа f1 и /2 удовлетворяют неравенству f1 /2. Пространство состояний D
разлагается в прямую сумму подпространств:
В подпространстве реализуется конечномерное унитарное
неприводимое представление ?/(2)-группы (причем, как легко видеть, со
старшим весом f1 - /, /2 = 0). Базисом для этого представления служат
функции (7.25) с фиксированными pz, sz, причем индексы этих функций
удовлетворяют условию / = п1 -f-п2.
Задачу о нахождении динамики поведения обсуждаемой модели можно
сформулировать, как и задачу о спектре, в рамках С/(2,1)-группы. Для
этого заметим, что операторы координат х и у можно выразить через
операторы рождения и уничтожения по формулам
а операторы дипольного момента выражаются через генераторы ?/(2,1)-
группы:
d+ = - еЦУ2 = - е (шсо)"'/2 [_ (А33)-Ч> А31 - iA23 (- А33У'!^
d = - el*/У2 = е (mio)-'^ [- i (- А33)~1^ А32 - А13 (- А33)~ч*\.
Эта связь аналогична связи оператора дипольного перехода с генераторами
0(4,2)-группы в атоме водорода [15]. Переход к случаю нерелятивистской
частицы со спином 0 прост (ц = 0 в (7.1)). Поэтому представление,
описывающее состояние частицы с фиксированным pz, является тем же
представлением ?/(2,1)-группы
d = a Dhh.
1,12
(7.31)
х = (2та>) 'ДЪ 4- Ы -f- i(a - аА)]' у = (2т(й)~11 *[i{b - Ы) + а + аД,
(7.32)
(7.33)
(см. (7.26) и (7.28)).
30
§ 8. Симметрия кулоновского потенциала в n-мерном пространстве
Рассмотрим уравнение
Дпф = 0; Ап = ---h • - - Н--- • (8.1)
дх' (9х"
Координаты Xi могут быть действительными и мнимыми, т. е. в операторе Ап
произвольное число знаков плюс и минус. Непосредственной проверкой
убеждаемся, что операторы
7i = xl Ж - 2х'л4г + (2~ п)ч;
(8.2)
г д 4 " 1
с ~2
коммутируют на решениях (8.1) с лапласианом Ап. Коммутационные
соотношения следующих линейных комбинаций:
к 1, 2, . . . , 71 -j- 2,
/-^гft ~ i, к = 1,... , 71,
¦^4, n-f-l' (Pi ~f~ {)l2i Pn-(-1, n-f-2 Д
Pi,n+2 = (Pi + Hi)/2i
(8.3)
совпадают с коммутационными соотношениями операторов 0(/г,2)-группы.
Интересно, что одномерное уравнение Лапласа, имеющее группу симметрии
0(3), реализует в качестве решений лишь представления этой группы,
задаваемые полным моментом 1/2. Оператор Казимира М2 = 3/4 тождественно.
Представление конечномерно (е1 = 1, е2 = х). Операторы Казимира
тождественно равны числам и в случае двумерного лапласиана. Многомерная
кулоновская задача описывается гамильтонианом
ф- "">
Дискретный спектр этой задачи и волновые функции были найдены в [59]. В
работе [36] было показано, что задача обладает 0(п + 1)-группой
инвариантности. Точно так же, как и для трехмерного случая, многомерная
кеплеровская задача сводится (см. работу [361) с помощью перехода к
импульсному пространству и стереографического проектирования к уравнению
(8.1) в пространстве п -j- 1 измерения. Однородные полиномы степени к
принадлежат вырожденным уровням энергии ЕК = -{2[к + (п - - 1)/2]2}-1. В
пространстве этих полиномов реализуется конечномерное представление 0(п +
1)-группы. Решения этой задачи
31
можно объединить с помощью (8.3) в одно неприводимое представление 0(п +
1, 2)-группы. Это представление неприводимо при сужении на 0(п + 1, 1)-
подгруппу. Динамическая 0(п + 1,2)-группа для многомерного атома водорода
была найдена в работах [11, 28, 31, 60].
§ 9. Когерентные состояния
одномерного квантового осциллятора
Рассмотрим в настоящем параграфе важное представление, называемое часто
представлением когерентных состояний.
Глаубер [61] ввел термин "когерентные состояния" и рассмотрел эти
состояния для одномерного стационарного квантового осциллятора в связи с
задачами квантовой оптики. По существу, такие состояния - волновые пакеты
- строились и изучались еще Шредингером [62] для установления связи между
классическими и квантовыми подходами. Когерентные состояния очень тесно
связаны с представлением Фока - Баргмана [63, 64].
Чтобы изучить свойства представления когерентных состояний, рассмотрим
одномерный квантовый осциллятор с гамильтонианом Ж = р2/2т + та>2х2/2.
Введем два оператора:
а = (2п)-^(%х + a~v); ...,.
± ,------------- (94)
а1 =¦ (2Л)-1'г (кх - ik Jp), к - Y
Эти операторы удовлетворяют коммутационному соотношению
[а, аЦ = 1. (9.2)
Неэрмитов оператор а обладает комплексными собственными значениями.
Основное состояние осциллятора определяется из условия
а | 0> = 0. (9.3)
Волновая функция в г-представлении имеет вид
