Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 8

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 123 >> Следующая

инфинитезимальное преобразование В = 21 Si (ж) д/дх-i является
преобразованием симметрии систе-
г
мы обыкновенных дифференциальных уравнений в определенном формулами
(3.1), (3.3) смысле.
Если пайдепа динамическая группа уравнения столь широкая, что все решения
рассматриваемого уравнения связываются операторами преобразований из этой
группы, то в определенном смысле динамическая группа и ее представление,
реализуемое на пространстве решений, заменяют само уравнение. Это
позволяет сформулировать физические проблемы не на языке уравнений, а па
языке групп. Разумеется, верно и обратное. Чисто алгебраический подход к
задаче можно эквивалентным образом заменить подходом, основанным на
рассмотрении уравнений. Однако в силу простоты и развитости групповых
методов проще и удобпее работать в рамках чисто группового подхода. Цель
этого подхода - сформулировать все физические величины, относящиеся к
рассматриваемой системе (такие, как спектр энергий, масс, квантовые
числа, функция Грина или оператор эволюции, амплитуда рассеяния,
амплитуда переходов), на языке теории представлений групп ( Ли или других
групп).
§ 4. Динамическая симметрия квантового осциллятора
Впервые некомпактная U( 1, 1)-группа была использована при рассмотрении
задачи о квантовом осцилляторе Гошеном и Липки-ным [19]. Связь
осциллятора с этой некомпактной динамической группой более детально
изучена Барутом [49]. Следуя этим статьям и используя принятые в них
обозначения, проведем рассмотрение динамической симметрии данной системы.
Алгебра Ли ?7(1, 1)-группы изоморфна алгебре Ли 0(2, 1)-группы Лоренца.
Три генератора этой группы, Ь12, L1S и L23, обладают коммутационными
соотношениями
[7j(rv, Ц1Л = ЧГццТ/vC gll = ^22 = lj g33 = - С ("^-Ц
Эта группа обладает унитарным представлением, задаваемым числом s,
связанным с собственным значением оператора*) Казимира С:
С = Ь\2 (Lj2 ~Г 1) -Г 2М-М+', М+ = (iLis + 7<2з) / "J/ 2 . (4.2)
Собственные значения оператора Казимира С выражаются числом s обычным
образом: s(s -f- 1) = С; ?>+(5)-представление ха-
*) Всюду далее значок Д над оператором опускаем.
19
рактерно тем, что собственное значение то оператора ЬГ2 ограничено снизу,
причем для случая С = -х/4 или s -- -х/2 это число равно то - х/2.
Операторы 0(2, 1)-груипы действуют в пространстве, базисом в котором
являются функции
|*>--*ф|0>, (4.3)
построенные с помощью операторов рождения а* = (х - д/дх)/У 2 из
основного состояния | ОУ = лГ'/*ехр(-х2/2). Операторы М±
д
связаны с операторами рождения и уничтожения а, а следующим образом:
М+ = - {Jl\f2){Lvl + Vs)'/*; М_ - (alY2)(Lia - '/г)* •
(4.4)
у
Коммутационные соотношения операторов а, а и L13 имеют вид [Z/12, а] = -
a; [L12, ah = ah (4.5)
Гамильтониан осциллятора выражается через оператор - генератор
некомпактной 0(2, 1)-группы:
St = TmL12. (4.6)
Оператор Казимира С = Г42 - L\3 - ГЛЯ при выборе представления в виде
(4.4) тождественно равен числу, а именно С = -х/4.
Матричные элементы операторов М+, Ь12 в базисе | п) имеют вид
<то | МЛ га) = - 2-'/" (и + 1) дт, п+г, (4.7) <щ I М_ | га) = 2-1!щЬт<
n_t; <то IL121 га) = (га + Vs) dm,
Можно построить также представление алгебры Ли 0(2, 1)-группы с
оператором Казимира С = - х/4, воспользовавшись следующей реализацией
генераторов:
М+ = V "afaat', М_ = яУ Л; L42 = с/а + х/а- (4.8)
Таким образом, существует динамическая группа (набор генераторов, не
коммутирующих с гамильтонианом), связывающая все уровни гармонического
осциллятора в одно неприводимое представление.
§ 5. Динамическая симметрия ротатора
В качестве примера рассмотрим в этом параграфе динамическую симметрию
другой простейшей квантовой системы - волчка. Эта система рассматривалась
в работе Мукунды, О'Рэферти, Су-даргаана [10] и в работе Дотана, Гелл-
Манна и Неемана [9] (см.
20
также подробную работу Бома [29]). Система представляет собой точку с
закрепленным расстоянием от начала координат. Ее по-ложение задается
угловыми координатами точки па сфере. Гамильтониан системы в случае
движения по сфере задается формулой
Ж - L42J, (5.1)
где L - оператор момента количества движения, J - момент инерции.
Поскольку спектр оператора квадрата момента количества движения хорошо
известен, спектр энергий системы имеет вид Ei = 1(1 -] 1)Й2/2/, причем
состояние с заданной энергией Ег вырождено по проекции момента L, тта ось
г. Кратность вырождения уровней энергии ротатора 21 + 1 обусловлена
симметрией гамильтониана (5.1) относительно группы трехмерных вращений. В
рамках подхода, основанного ва динамических симметриях, можно, как и в
случае осциллятора, объединить все уровни энергии в бесконечный
мультиплет более широкой, некомпактной, группы. Это можно сделать,
построив дополнительный генератор F, причем этот дополнительный генератор
является вектором по отношению к группе вращений:
[У; = ;. (5.2)
Вектор F обладает дополнительным свойством, что при коммутации его
компонент друг с другом получаем вектор углового момента L. Базис в
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed