Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
производящая функция с помощью гауссовских пакетов, но необходимо
произвести некоторые дополнительные преобразования, чтобы перейти к нашим
формулам.) Приведем результат для TV-мерного осциллятора:
Амплитуда перехода (2.6) между когерентными состояниями есть не что иное,
как функция Грина осциллятора с переменной частотой в представлении
когерентных состояний. Получается эта функция Грина интегрированием,
соответствующим взятию скалярного произведения <(y, f | а>. При этом
интеграл факторизуется в произведение одномерных интегралов, каждый из
которых есть простой гауссовский интеграл типа
Имея амплитуду перехода между когерентными состояниями, можно получить
все остальные амплитуды простым дифференцированием. В случае осциллятора
это дифференцирование особенно просто, если использовать опять
производящую функцию для полиномов Эрмита [88]. Для переходов из
состояния с заданной энергией в когерентное состояние | п, in> -*¦ | у,
Г> получаем следующее выражение для амплитуды:
-да^-кр-кг]}
(2.6)
- ОО
(2.7)
44
Для переходов из когерентного состояния в состояние с заданной энергией |
a, in> -*¦ \ ш, соответственно имеем
с - п [^Г'ч[4-(?"г-1",р)]
(2.8)
Функция Га ехр [| а |2/2 + | Y I 2/2] является производящей функцией для
полиномов Лежандра. Действительно (см. формулу (II. 5.1) в [88]),
ехр + - (y*f -i] =
Р=0
,2 ГР 25
15 j- ~ (V*Y -щ-
V4 1 a2v .
Ltxw*^-
p=0
ip <p.
g=-p
(мы для простоты опустили индекс к). Здесь трехмерный вектор ?
11 1 имеет координаты ? = (- cos у 0; sin-^- 0 cos ф^; - sin 0 sin фп)
и cos V2 0 = 1 / | ? |. В другой форме (р + q = т, р - q = п) правая
сторона равенства (2.9) имеет вид
-. - " / Ф \Ц* г- -i
2j т\ 6ХР ~ ^ ФЧ ~ Т ^ ф1] Х
Э), (2-10)
где числа тип имеют одинаковую четность.
Таким образом, амплитуда перехода Т(tm) имеет вид
Тп = {ш, 11 п, t -> оо> =
/ П \ \Ч 2 Г ¦
= П Ытг) ехр т (m* - <4 - т (т* + % * J х
t=1 к
x/>SKS(cosi0k). (2.11)
Выражения для Г(tm), 71(tm) (2.8), (2.11) являются функциями Грина, отвечающими
переходу из состояния | а> в состояние | шУ и из состояния | пУ в
состояние | шУ соответственно. Таким образом, выражение для Т(tm) (2.11)
есть функция Грина осциллятора с переменной частотой в дискретном базисе.
В соответствии с обсуждением подобных величин в § 2 гл. I амплитуду Тп
можно рассматривать как функцию распределения; для нее, в силу
унитарности оператора эволюции, справедливы условия
45
I ?T |2 ^ 1 (см. формулу (2.14) гл. I). Матричный элемент (2.11) является
интегралом от полиномов Эрмита и квадратичной экспоненты следующего вида:
ОО
Тп оо § Hm (ах) Нп (рг) е-'^' dx.
-ОО
Выражение этого интеграла через полином Лежандра приведено в [88]. В
другой форме для одномерного осциллятора эта амплитуда приведена в работе
[85] (в виде ряда) и в работе [72].
Для вероятностей переходов между энергетическими состояниями легко
получаем
Это тривиальное обобщение результата для одномерного осциллятора на
многомерный случай. Такое выражение вероятности перехода через полином
Лежандра в одномерном случае было получено в работе [92].
§ 3. Когерентные состояния заряда в однородном переменном
магнитном поле с векторным потенциалом А = [H(t) X т/2]
В этом параграфе рассмотрим еще один случай квантовой системы,
описываемой нестационарным квадратичным гамильтонианом, чье поведение
задается опять функцией е (t), подчиняющейся классическому уравнению
колебаний с переменной частотой [72].
Рассмотрим частицу с массой М и зарядом е, движущуюся в классическом
электромагнитном поле с потенциалами
A (t) = [Н (t) X г/2]; Ф = е% (*) (х2 + у2)12М, (3.1)
где г - вектор, задающий координаты частицы, Н (I) - аксиально-
симметричное, однородное, переменное во времени магнитное поле, х (t) -
произвольная функция t. Скалярный потенциал ф соответствует аксиально-
симметричному, зависящему от времени, однородному распределению плотности
заряда, равной - е% (t)/(2nMc2). Такой потенциал рассматривался в работе
[89]. В случае % (t) = 0 имеем переменное магнитное поле Н (t) и
электрическое поле, связанное с изменениями этого магнитного поля.
Выберем направление оси z вдоль магнитного поля Н, тогда Аг = 0. Движение
вдоль оси z является свободным. Поэтому часть гамильтониана, отвечающую
этому движению, опустим. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид
Ж = (2 М)'1 [(р* - еАх)а + (ру - еАу)2] + еф (й ¦= с == 1).
(2.12)
(3.2)
46
Зависящая от спина часть гамильтониага в этом параграфе не
рассматривается. Потенциалы (3.1), удовлетворяющие уравнениям Максвелла,
могут создаваться соответствующими распределениями плотности тока и
зарядов. Обычно с хорошей точностью эти потенциалы описывают
электромагнитное поле в соленоиде с переменным током.
Как и в предыдущем параграфе, найдем сперва линейные интегралы движения.
Прямым расчетом можно проверить, что следующие два комплексных оператора
являются такими интегралами движения:
Здесь со (т) = еН(т)/М и функция в (t) есть решение (частное) уравнения
