Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
G (х, х , ?0, t0) = 6 (х - х'). (2.7)
Уравнение для функции Грина (2.6) можно уточнить, введя в рассмотрение
времена t <( t0. В уравнении Шредингера обычно полагают функцию Грина при
t <( tQ равной нулю. Отсюда сразу вытекает, что так определенная функция
Грина G удовлетворяет уравнению с 6-образной правой частью
- же = ih 6 (г - *<>) 6 (ж - х'). (2.8)
Правая часть возникает из-за дифференцирования скачкообразного изменения
функции Грина во времени.
Другим важным уравнением, которое мы будем рассматривать, является
уравнение Блоха для матрицы плотности квантовой системы. Матрица
плотности квантовой системы р (х, х', р), являющаяся ядром оператора р =
ехр (-$Ж), где Р - параметр, удовлетворяет уравнению Блоха, аналогичному
уравнению (2.8), с очевидной подстановкой t0 - 0, it/h - р:
[^- + Ж (ж)] р (ж, х', р) - 6 (р) 6 (х - х'). (2.9)
14
Отметим, что уравнение Шредингера для функции Грина (2.8) и уравнение
Блоха для матрицы плотности являются уравнениями типа
OS (х, х',т)/дх = A(x)S(x, х', т); т>0; S(0) = 8(х - х'). (2.10)
Здесь т - параметр, оператор А (х) действует на переменные х функции S.
Функция S является либо функцией Грина G уравнения Шредингера, если А (х)
- Ж (х) и т = itlh, либо матрицей плотности, если оператор А = -Н ит = р.
Многие результаты, обсуждаемые в дальнейшем для функций Грина или для
матриц плотности, остаются справедливыми для любых задач, описываемых
уравнением типа уравнения (2.10). Функция Грина описывает поведение
динамической системы. Но мы под словами "динамическая система" будем
подразумевать все случаи физических или математических задач, которые
описываются уравнением типа уравнения (2.10). Запишем также важные
ограничения, вытекающие из эрмитовости гамильтониана системы Ж, как
стационарного, так и нестационарного.
Для всех эрмитовых гамильтонианов оператор эволюции U унитарен (сохраняет
скалярное произведение (Uq>, Z7*F) = (cp, VF)):
utu = uut = l. (2.11)
Это соотношение приводит к условиям для матричных элементов оператора U
(функция Грина) в любом базисе. Так, в координатном представлении имеем
соотношение
^ G (х, у, t) G* (х', у, t) dy = & (х - х'). (2.12)
В любом дискретном базисе выполняется соотношение для матрич-
ных элементов Unm(t) (функции Грина) вида
(2.13)
m
Если функция Грина Unm{t) выражена через какие-то специальные функции, то
(2.13) означает наличие определенных правил сумм для этих специальных
функций. Соотношение (2.13) означает также наличие ряда неравенств. Так,
ттз того, что при п - s (2.13) переходит я соотношение
|2=-1, (2.13а)
т
вытекает неравенство
! ''""(О 1.1- (2.11)
Функция Wnm{l) = | Unm{t) j2 есть (прификсированном п) распределение
вероятностей по состояниям, задаваемым дискретным индексом (набором
индексов) т. Соотношение (2.13) есть нормировка этого распределения.
Аналогичная интерпретация имеется
15
и в недискретных базисах (см. (2.12)). В других представлениях условие
унитарности (2.11) дает определенные связи, причем по части индексов
(квантовых чисел) может вестись суммирование, а по части -
интегрирование. Из физических условий (причинности развития динамической
системы во времени) вытекает также очевидное нелинейное соотношение,
справедливое как для эрмитовых, так и неэрмитовых гамильтонианов:
U(t2, G) U (tl, t0) = U (/2, ^о) (^2 > > ^о)* (2-1 л)
Ото нелинейное соотношение определяет, в частности, нормировочную
константу функции Грина. Хотя многие результаты, обсуждаемые в
последующих главах, легко переносятся на бесконечномерные квантовые
системы, описываемые уравнениями квантовой теории поля, мы для
определенности будем считать заданную систему обладающей конечным числом
степеней свободы. Заметим также, что в обозначениях Дирака функция Грипа
G (х, х', t) (t0 = 0) совпадает с матричным элементом оператора эволюции
системы U(t), взятым между состояниями с заданными координатами х и х', а
именно:
G (ас, яг/, t) = <йр. | U (t) | х/у. (2.16)
Ясно, что можно строить матричные элементы оператора эволюции, используя
и другие базисы. В частности, волновая функция квантовой системы *Г(х, t)
есть матричный элемент оператора эволюции 0(t) между состояниями j *Г)>и
| х~}, т. с.
^(ас, t) - <jc | D(t) | Т>.
Таким образом, знание полного набора решений уравпения Шредингера
эквивалентно знанию функции Грина в координатном представлении, и
наоборот. Волновая функция есть функция Грина в "косом" базисе. Можно
строить функцию Грипа и в дискретных представлениях. Это построение
сводится к нахождению матричного элемента оператора эволюции между
состояниями системы, характеризуемыми набором дискретных параметров. Все
обсуждаемые функции Грипа эквивалентны, и выбор представления, в котором
берется функция Грина, определяется лишь удобством рассмотрения. То, что
говорилось выше о квантовой системе, описываемой скалярной волновой
функцией, остается справедливым, с очевидными изменениями, для волновых
функций, имеющих несколько компонент. При этом функция Грина системы в
