Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
многоатомной молекулы, приведены новые формулы, относящиеся к свойствам
матричных элементов неприводимых представлений симплектической группы и
связанпых с ними многомерных полиномов Эрмита и их аналогов.
На включение в монографию тех или иных вопросов наложили отпечаток
научные интересы авторов, часть материала связана с тематикой лекций,
читавшихся авторами па протяжении ряда лет в Московском физико-
техническом институте. Материал глав
7
I-IV и VIII подготовлен к печати В. И. Манько, а глав V-VII, IX, X и
приложения - И. А. Малкиным.
Авторы считают своим приятным долгом поблагодарить академиков В. JI.
Гинзбурга и М. А. Маркова за многолетнюю помощь и многочисленные
обсуждения результатов, затрагиваемых в настоящей монографии. Авторы
благодарят В. В. Додонова, Е. В. Докторова, Е. В. Иванову, Е. В.
Курмышева, Д. А. Трифонова, А. П. Шустова за плодотворное сотрудничество
в получении результатов, нашедших отражение в предлагаемой читателю
монографии.
Авторы
Г л а в a I
Динамические симметрии нерелятивистских систем
§ 1. Введение
Алгебраический подход к описанию квантовых систем состоит в изучении
соотношений и представлений различных операторов, физических величин,
относящихся к этим системам. Преимущество подобного подхода состоит в
том, что с его помощью можно сразу получить такие физические величины,
как энергетические уровни, вырождение их, амплитуды переходов (без
предварительного нахождения волновых функций). Волновые функции также
можно определить с помощью явных представлений имеющихся алгебраических
соотношений, по это отдельный вопрос. Предметом настоящей главы служит
алгебраический подход в квантовой теории, известный сейчас как теория
динамических симметрий.
Из многих операторов, относящихся к изучаемой физической системе, можно
построить различные алгебраические структуры. Например, алгебра Ли
операторов симметрии гамильтониана давно и широко использовалась, кроме
всего прочего, для понимания вырождения уровней энергии до решения
уравнения Шре-диигера. В последнее время для расчета величин, которые
зависят в большей степени от динамики системы, чем от свойств симметрии
энергетического уровпя рассматриваемой системы, применялись другие
алгебры Ли, которые обычно включают в себя гамильтониан, операторы
симметрии и некоторые другие операторы, не коммутирующие с
гамильтонианом. Эти дополнительные операторы или, по крайней мере,
подходящие линейные комбинации часто в результате явного вида их
матричных элементов между состояниями с разными энергиями можно
интерпретировать как операторы переходов, вызываемых некоторым
взаимодействием, или просто как повышающие и понижающие операторы.
Действительно, независимые собственные функции гамильтониана служат в
качестве базиса представления, часто неприводимого, алгебры Ли,
содержащей повышающие и понижающие операторы. Любую такую алгебру можно
назвать динамической алгеброй, поскольку в процессе нахождения ее
представления определяются также матричные элементы таких динамических
величин, как гамильтониан и операторы переходов.
9
Следуя [16], иод динамической группой системы будем понимать
конечномерную группу Ли, неприводимое представление которой действует в
гильбертовом пространстве состояний системы.
При этом подразумевается, что операторы симметрии, гамильтониан и все
операторы переходов соответствуют элементам или группы, или алгебры Ли,
или ее обертывающей алгебры. Это последнее условие необходимо для того,
чтобы динамическая алгебра отличалась от так называемой генерирующей
спектр алгебры, из которой агожно найти спектр энергий, по не всю
информацию о динамике переходов.
Остановимся на истории вопроса. Исследования динамических групп
стимулировались желанием понять природу классификации элементарных частиц
по мультпплетам унитарной SU(3)-группы [1, 2J. Это вновь вызвало интерес
к подходу, развитому Фоком [3], по объяснению классификации уровней атома
водорода по мультиплетам 0(4)-группы (см. также [4]). Параллельно с
исследованиями возможности перехода от унитарных мультиплетов 5ЩЗ)-группы
ко все более широким семействам типа мультиплетов 1??7(6)-группы [5 - 7]
проводились исследования квантовой теории, которая связана с
рассмотрением физических состояний квантовых систем как членов
мультиплетов, описываемых неприводимыми представлениями тех или иных
групп.
Почти одновременно появились работы Барута [8], Дотана, Гелл-Манна и
Неемана [9], а также Мукунды, О'Рэферти и Су-даршана [10], в которых были
введены близкие понятия такой группы (или алгебры Ли), позволяющие
объединить все уровни энергии стационарной квантовой системы в один
мультиплет некомпактной группы (или алгебры). В работе [8] эта группа
(или алгебра) названа динамической, в работе [9] - алгеброй, генерирующей
спектр, а в работе [10] - группой неипвариантности. Эти понятия очень
близки, хотя разные авторы до сих пор вкладывают несколько разный смысл в
