Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
многообразия, транзитивные относительно соответствующей картановской
подгруппы Ли. Квазиэнергетические состояния | nh mr, pr, vs, es, t)
реализуют это разложение на неприводимые представления картановской
подгруппы А(к,о- Состояние | н;, mr, pr, v" es, ty преобразуется по
одномерному неприводимому представлению картановской подгруппы А(к, i)>
отвечающему характеру % (h{K'l)) - ехр п fa +
+ 2jvsAs + 2j(mr/j r+к + Pr А-+кчг)|1 • Таким образом, в случае,
когда матрица А (Т) не имеет присоединенных векторов, в §§ 4-6 получено
явное выражение для спектра квазиэнергий (6.21) нестационарной
квадратичной системы и найдено выражение для соответствующих
квазиэнергетических состояний
(6.21) в теоретико-групповых терминах. Более сложен случай
Н-2~ (zrZr+N "Г zrZr+jv) + | о, 0, 0, ty. (7.2)
Г S
Ai I 0, 0, 0, ty = 0; Zr I 0, 0, 0, ty = zt \ 0, 0, 0, ty = 0; Is I 0, 0,
0, ty = 0,
(7.3)
h, = Va (AtAi + A,Af); h? = (2i)-1 (ZlZrt+r + ZrZ^r)\ hs = V2 (IsIN+s T"
Tjv+s Ts); = V4 {ZrZr+N -f- Zr+NZ\ -|-
+ zUrZr + zjZN+r). (7.4)
Г
158
"резонансов", когда матрица Л (Т) имеет кратные корни и отвечающие им
присоединенные векторы. В этом случае возникает задача о разложении на
неприводимые представления сужения представления Sp (2N, R)/\H (N) на
некоторую разрешимую подгруппу.
§ 8. Заряженная частиа в периодическом поле
Полученные выше результаты могут быть проиллюстрированы на примере
движения заряженной частицы в периодических во времени электрическом и
магнитном полях. Гамильтониан системы в этом случае имеет следующий вид
(см. § 6 гл. II):
1 / З2 . о2 \ . ?(0 (?) / д д
Ж (0 - - ~2 + ?j$) + ~^Г~ гг) +
Н б~ (х2 + У2) - [Ех (t) х -Г Еи (t) у]. (8.1)
Электрическое и магнитное ноля выбраны для простоты ортогональными друг
другу и равны
Ж (0 = {Ех (f), Еу (0, 0}; Н (0 = {0, 0, о (<)}• (8.2)
В (8.2) использована система единиц, в которой е/2М = 1 и, следовательно,
Hz (t) = со (t).
Потенциалы электрического и магнитного полей выбраны в виде
Ф (0 = - Ж {t)-r; A (t) = V2 IH (t) X г]. (8.3)
Движение по оси г свободное.
Гамильтониану (8.1) отвечает гамильтониан вида (2.1) с матрицей В (t):
1 0 0 со/2
1 0 1 - со/2 0
2 0 - со/2 со2/4 0
со/2 0 0 со2/4
(8Г
и вектором С (t):
<8-5>
Положим, что электрическое и магнитное поля периодичны во времени с
периодом Т:
JS (t + Г) = Е (t); Н {t + Т) = Н {t). (8.6)
Рассмотрим сначала случай, когда электрическое поле отсутствует, т. е. ф
= 0 и Е = 0. Как показано в [69], случай, когда электрическое поле не
равно нулю, сводится к задаче с ф = 0, при этом состояния с ф^О могут
быть получены действием унитарного оператора на состояния с ф = 0.
Интегралы движения в переменных ?, и t, отвечающие преобразованному
гамильтониану,
159
имеют вид (см. § 6 гл. III)
Л(0 = ^-(^+"е^); B{t) = ±fa*-e-jL) ;
t
? = - ix + iy) exp Y jj 0) (t) dx; (8.7)
0
И* - *e* J Я* = (- i**? - ,
где функции e (t) являются решениями уравнения для классического
осциллятора
ё + оз2е/4 = 0. (8.8)
Решения классического уравнения (8.8) разбиваются на два типа: устойчивые
и неустойчивые решения. Согласно теореме Фло-ке устойчивые решения имеют
вид
е (t + Т) = е (t) eixT; е* {t -f- Т) = е* (t) e~ixT, (8.9)
где и - действительное число, а | е (t) | - функция, периодическая во
времени, т. е. | е (t -f- Т) | = | е (t) |. Комплексное реше-
ние е (t) уравнения (8.8) может быть представлено в форме e(t) - t т
(t) |exp^ij| е |"2 dtj в области устойчивости, т. е. и= Т _1J| е |"2 dx.
о о
Используя (8.9) в качестве е (t) в интегралах движения (8.7), получим
соотношения коммутации для А и В:
[А, В] = 1А*, В] = [А, В*] = [A*, Bf] = 0;
[А, А+1 = [В, В*\ = 1.
Последние два соотношения следуют из условия е*ё - ё*е =
= 21. Из (8.7) с учетом (8.9) следует, что операторы А и В
связаны соотношениями в моменты 0 и Г следующего вида:
= 81
е1'ЛаТА (t); В (t + Т) = Ахъхг т т
A {t + Т)= е'ЛаТА (t)-, В (t + Т) = еХь В ("), (8.10)
где
Т Иг +|е|2)йт: Яь ~~ Т Ц ( 2 +|е|2)йт-
о о
Построим когерентные состояния | а, р, ty, являющиеся собственными для
операторов А~и В:
A {t) | а, р, ty = а | а, р, ty;
В (t) I а, р, ty = р | а, р, ty.
Явный вид | а, р, ty дается формулой (6.7) гл. II, где необходимо
положить ?0 = 0. Когерентные состояния | а, р, ty, как показано
160
выше (см. (4.13)), являются производящими функциями для квазистационарных
состояний. Используя (4.15), (4.18) и (8.10),
(8.11), получим выражение для дискретного спектра квазиэнергий
где nv п2 - целые неотрицательные числа. Явный вид волновой функции
состояния с квазиэнергией еП1"2 приведен в гл. II (формула (6.8)).
Рассмотрим теперь случай неустойчивых решений (8.8). По теореме Флоке
существуют два действительных линейно независимых решения е1 (t) и е2 (t)
уравнения ё + ю2е/4 = 0:
причем = 2, х2 0. Подстановка и е2 вместо е и е*,
соответственно, в интегралы движения (8.7) определяет новьте интегралы
движения П1, А2, Bv В2. Вследствие действительности ек, к = 1, 2,
оказывается, что
