Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ж*=4г + 1Г6,Р> "з = ГЩТЩ. (2.3)
Считаем, что Q >> + ?22> ПРИ этом движение будет устойчивым.
Гамильтонианы Ж а. и Жг коммутируют между собой и зависят от разных
переменных; следовательно, волновую функцию гамильтониана Ж можно
представить в виде произведения волновых функций Ч*1 (х, у) и Ф1 (z); Жг
- гамильтониан обычного линейного осциллятора, волновые функции которого
хорошо известны [53]. Поэтому далее рассматривается лишь гамильтониан
Жj_. Введем бозонные операторы рождения и уничтожения:
тп У Q2 - Щ/2 х -{-[i [ 2m. ]AQ(r) - Q2 j рх-
а2 = ~УmQ2/2 у + (i/Y2mQ2) ру; (2.4)
[clj, cifc] [dj, fi:^] 0, [&}, ^fc] бг*^, j, к 1, 2.
Найдем два неэрмитовых интеграла движения А}, j =1,2,
которые удовлетворяют условиям
дА.
1 ~дГ = А& (2-5)
[А}, Ati = 6fJt; [Aj, Ak] = 0. (2.6)
168
Для этого, следуя работам [218, 220, 221, 376], диагонализуем
гамильтониан Ж j с помощью линейного канонического преобразования над
операторами aj, aj, принадлежащего группе Sp (4, R)
[217]:
(2.7)
"11 "12 "13 "14 /Щ
* "12 * "11 * "14 * "13 4
Е, - "21 "22 "23 "24 "2
d * "22 * "21 * "24 * "23 \"2
где
о. + V Q2 - ft2 2(Q2 - Q2)'/4
и 13
со, - Qa
У E]QQ2 .
У т?-тГ
ии =
¦Vs>-Q2
2 (Q2 _ q; i (Oi -|- Q2
U21 - -
co2 - У Q2 - Qj 2 (Q3 - ft2 )'/' У e2 (со2 -со2)
U%2 "
C02
+ VQ2 - Qj
a?)1'* [/ "iK-
- Qo / 61QQ2
1 1/
¦C0-)
(2.8)
m23
2 (Q2 - й:
l C02 - ^2
?)v* [/ Mco2
-cob
J C02 "I- /~ 62^^2 , ^ co2 - 02 y/"" 62^
2" C02 J/ 0)2 __ M2 ' 24 2 C02 у
E2QQ2
СО]
2 co2
(/Q2 - (Qj - Q2)2 + /Q2 - (Qx + Q2)2);
Щ5).
co2 - (/Q2 - (i2i - ^a)2 - /Q2 - (Qi -
Здесь и в дальнейшем используются обозначения
со2 + Q2
El
Е2
mi 4"
cOjQ
2Q /07^ .
(coj + со2) (Q] + Q2) '
co2ft Ё4 =
(сох со2) (Q] ¦ ft,)
(СО] + COjj) (ft] + ft-2)
причем при Qx = Q2 имеем Ej = e2 = e3 = 1, e4 = 0. Искомые инварианты
записываются как
Aj = 1^; А2 =
а гамильтониан (2.2) приводится к виду
Жх. - a1(AjA1 -[- 1/2) - со2(И2И2 -1/2),
(2.9)
(2.10)
(2.11)
169
т. е. энергия электрона принимает значения
Е-Lп,пг = (щ + V2) - (О2{п2 + V2), (2.12)
где пг, п2 = 0, 1, 2, 3, . . .
Состояние "вакуума" | 0, 0) гамильтониана Ж а. определяется
как
Аг\0, 0> = Л2|0, 0> =0. (2.13)
Система (2.13) совместна, ее нормированное решение имеет вид | 0, 0> =
= N ехр {_ 4 | t((0!-co2) t + т, q2^ +^)]} ,
__________________________________ (2.14)
Когерентные состояния | cc1, a2 ) = | a?, cc") можно получить из
состояния "вакуума" | 0, 0) при помощи унитарных операторов Вейля [222]
Dj (a j) = ехр (а-Aj - a (r)-Mj) = exp( agf - aflj);
| a^) = D1(a1)D2(a2) \ 0,0):
здесь aj, a(r) - постоянные комплексные числа, a = = a? exp(- tcojl), a2 =
a(r) exp (iti)2t). Когерентные состояния a?> a2> - собственные функции
линейных инвариантов Aj:
Aj | aj, a2> = a(r) | aj, a(r)>, / = 1, 2, (2.16)
и удовлетворяют уравнению Шредингера. Приведем выражение для когерентного
состояния:
| ab а2> = ехр j ^ [| ai I2 + I "г ? + е" (ai - а\) + 2e3aia2] -
COi "4 ^2 "4 ^2
А-Ш2у{Угуах - Yг2а2) [|0, 0). (2.17)
2тпО.
Когерентные состояния являются производящими для стационарных состояний |
п1, п2у.
г 1 "1 a"1 аПг
1"!, <х2> = ехр --2" (I "J I2 + I "г 12)J 2_|
ybfrl"1'"^' ^2Л8)
п,,п2=0 1 "2'
где | пг, п2> - собственные состояния инвариантов AjAj:
AfAj | щ, п2У = nj | пг, п2>, j = 1, 2, (2.19)
170
удовлетворяющие уравнению Шредингера и условию ортонорми-рованности <^т1,
тп2 \ пъ п2} = 6п,П1 Sm,mi. Дифференцируя (2.17) по аг, а2, получаем
выражение для \пг, п2):
| пи п2У = (nj! n2\)~11* | 0, 0) НПиП2 (т)15 т]2); (2.20)
здесь Нщп, (г)!, т]2) -полином Эрмита от двух переменных [88, 223]:
Ч' = - V2m ТГ + 7, а, + я, (* - V у),
ч, - - Y2т А "¦ - ^ fl- (х + J- у) .
(2.21)
Возможность диагонализации гамильтониана Ж\_ (см. (2.2)) каноническим
преобразованием (2.7), принадлежащим группе Sp (4,7?), тесно связана с
группой динамической симметрии гамильтониана Жх- Явное выражение для Ж±
(2.11) позволяет легко сконструировать группу динамической симметрии,
являющуюся полупрямым произведением симплектической группы Sp (4, R) на
группу Гейзенберга Н (2). Эта группа как группа динамической симметрии
iV-мерного осциллятора и ее представления рассмотрена в работах [110,
201]. Генераторы группы Sp (4, R) Д Д Н (2) легко могут быть записаны
через операторы ?/, в виде линейных и квадратичных выражений (см. [207,
217]). Стационарные состояния возникают при диагонализации операторов,
принадлежащих компактной подалгебре, а когерентные - при диагонализации
операторов, построенных из генераторов нормального делителя. Функция
Грина системы является матричным элементом оператора этой динамической
группы (см. [217]). Гамильтониан взаимодействия электрона с фотоном также
принадлежит как в дипольном приближении, так и в общем случае
динамической группе, что позволяет легко найти его матричные элементы в
различных базисах в стационарных и когерентных состояниях.
Рассмотрим теперь однофотонные переходы в этой системе.
Гамильтониан взаимодействия с полем фотонов записывается в виде
