Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(4.7) являются производящими для фоковских состояний:
= (4.13)
п-=1 3=1 ' п'У
Ввиду полноты системы когерентных состояний | а, О, фоковские состояния
образуют полную ортогональную систему
I'F) = S<xF|re> 0|", О, <m, 11 п, ty = 6т". (4.14)
П
Покажем, что фоковские состояния (4.12) являются квази-энергетическими
состояниями гамильтониана (2.11) в смысле определения (2.4).
Действительно, запишем (4.7) в момент времени t + Т:
Aj (Т -f- t) | a, t + Ту = ctj | a, t -f- 71). (4.15)
Используя (4.6) и (4.7), из (4.15) получаем
ehiAj (t) | a, t -f- ТУ == Aj (t -f- T) | a, t -f- Ty = a,j | a, t + Ty.
(4.16)
В силу единственности решения системы (4.7), т. е. простоты
спектра операторов A j и полноты системы когерентных состояний | a, ty,
из (4.16) заключаем, что
| <xj, t + ТУ = ехр (- ?е0Г) | e~lhi aj, ty. (4.17)
Фаза е" легко получается из (4.8)-(4.10) и равна
е0 = ?Ф (Т)/Т. (4.18)
Соотношение (4.17) показывает, что эволюция когерентного состояния за
период Т сводится к повороту в каждой плоскости aj на угол - h} в полном
соответствии с (4.1) и соотношением (4.6). Подставляя теперь формулу
(4.13) в левую и правую части (4.17) и сравнивая члены при одинаковых
степенях а, находим
\п, t + ТУ = ехрЦ- i (г0Т^jrejAjjJ|n, ty. (4.19)
Сравнение выражения (4.19) с условием квазипериодичности (2.4)
доказывает, ЧТО СОСТОЯНИЯ | ц7 ty является квазиэнергетическими
на
состояниями, а спектр квазиэнергий является чисто дискретным:
т
е=т S hi Ь+4-) + 4- S [4-'Im +я° м]dx• (4-2°)
i о -
Числа А; определены в силу (2.4) и (2.12) по модулю 2л.
КЭС, отвечающие фоковским состояниям j п, ty, можно явным образом
выразить через полиномы Эрмита от N переменных [88, 223], используя (4.8)
и производящую функцию (4.13):
\п, ty = I О, О (nj.nj. ... Л]у!Г'/г ^...nN (ж), (4.21)
где х = 2~'!гХркр1 (Х^рА-Л* - 2ikpLq) и 10, t) дается формулой (4.9).
Обсудим теперь характер спектра КЭ (4.18). Как было отмечено выше, числа
hj определены по модулю 2л, а квазиэнергия - с точностью до 2лN/T (N = 0,
+ 1, + 2, ...).
Если все отношения hj!2л (/==1,2, . . . , N) - числа линейно независимые,
с целочисленными коэффициентами rrij, т. е. Ф 0 (mod 2л), то каждое
собственное значение КЭ (4.20)
j
не вырождено, причем КЭ е всюду плотно заполняет отрезок [0, 2л/Т]. Если
2 mjhj = 0 (irod 2л) (rrij- целые числа), то появ-
3
ляется вырождение спектра КЭ. Если все отношения kj/2n - рациональные
числа, то спектр КЭ конечный, причем каждому собственному значению е
отвечает счетная последовательность КЭС (4.21).
§ 5. Непрерывный спектр квазиэнергий
Рассмотрим случай, когда система описывается гамильтонианом (2.1),
которому отвечает матрица монодромии Л (Г), являющаяся элементом
максимальной некомпактной картановской подгруппы A(0i0) = ехр {Л(°>°)}. В
этом случае Л (Г) - диагональная матрица и ее собственные значения -
вещественные числа вида Kj = e±h'l (/ = 1,2, . . . , N), где h-t -
вещественные числа.
Тогда для операторов Ij(T) (см. (3.14)), используя (2.11), находим
Ij (t+T)= ehJIj (t), /=1,2, . . . , N;
(5.1)
Ij+N (t+T) = e~ ilj+n (t).
Рассмотрим состояния системы | к, t), являющиеся собственными для взаимно
коммутирующих интегралов I} (t) (/ = = 1,2, . . . , N):
Ij | к, О = kj | к, ty, (5.2)
150
и, кроме того, удовлетворяющие уравнению Шредингера
i 1 к, О = Ж | к, ty. (5.3)
Используя явный вид инвариантов I j (t) (2.5), находим решения системы
(5.2), (5.3):
I к, ty = (2л) N/2 ехр [-у QK1 ^2 Q + iqK1 (& - 6i) +
+ ~ kXatfk + h (62 - + Ф (01. (5.4)
Фаза
i
Ф (t) = j [Sp b3) + - ifiArWei-
0
- iH0(x)]dt (5.5)
может быть найдена подстановкой (5.4) в уравнение Шредингера
(5.3). Отметим, что если det =?= 0, то волновые функции состояния | к, ty
следует вычислять в координатном представлении, а если det Х3 =?= 0, то в
импульсном. Одновременное выполнение равенств det = det Х3 - 0 невозможно
в силу условий симплек-тичности (см. (5.33) гл. III).
Состояния (5.4) нормированы согласно условию
<*', 11 к, ty = б (* - к') (5.6)
и являются временной эволюцией плоских волн - состояний, обладающих в
начальный момент определенным импульсом к. Они могут быть получены путем
вычисления преобразования Фурье по Второму аргументу от ядра функции
Грина гамильтониана Ж (t), приведенной в § 5 гл. III (см. (5.35)).
Волновые пакеты
(5.4) образуют полную систему.
Аналогично тому, как это было проделано в § 4 в случае дискретного
спектра, используя (5.1) - (5.6), находим соотношение
| kj, t + ТУ = ехр [Ф (Г)] | kje~hi, ty. (5.7)
Рассмотрим состояния | v;, ty, получающиеся из состояний | kt, ty с
помощью преобразования Меллина [193]
I vj, е;, О = j | kj, ty Д | kj |-lvr,/" (sign k}p dkj, (5.8)
I=i
где Vj - вещественные числа, а числа Ej принимают значения 0 и 1.
Известно, что преобразование (5.8) имеет обращение того же вида:
| kj, ty = ^ j | vj, Ej, ty Д | kj fVr /! (sign kjf1 dvj, (5.9)
ej=o, l 3=1
151
где в сумме имеется 2N слагаемых, отвечающих всевозможным наборам чисел
