Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 60

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 123 >> Следующая

iV-мерные векторы 6Х и 62 естественно разбить на два вектора: /sT-мерный
8р (бр) и (N - /?)-мерный 6(р (б22)).
Из коммутативных интегралов Ij (t), / = 1,2, . . . , N, строим операторы
At = 2~'h (И{ + Ii+n), i = 1, 2, К, операторы
ZK, Zr - 1к+гг~1 + Ик+гг, r = И 2, . . . , l, и Is, s = К + + 21 + 1, . .
. , N, которые взаимно коммутируют и образуют полный набор. Построим
состояние | а, z, k, t), удовлетворяющее уравнению Шредингера и
являющееся собственным для этих операторов:
ai | а, *, k, t}, i = 1, 2, . . . , К\
zr | а, z, к, О;
zf | a, z, k, ty, r = 1,2,..., I; ks | a, z, k, ty, s = К + 21 + 1, .
где числа ks - вещественные, a at и zr - комплексные. Состояния | a, z,
k, ty нормированы согласно условию
<a', z , k', 11 a, z, k, ty =
= 6 (k' - k) 6 (z -z) exp (- | a |2/2 - | a' |2/2-a^'a), (6.15)
i
где 6 (z' - z) = 6 (z(D - z</>') 6 (z.(2> - ZT ¦= P
+ iz?2).
r=1
At | a, *, k, ty
Zr | a, z, k, ty
Zr | a, z, k, ty
Is I a, *, k, ty
(6.14)
N,
155
Приведем яВные Выражения для Волновой функции состояний
| а, г, к, ty.
I а, z, к, t} = | О, О, О, О ехр (- 1 /- УцзЦ^1#! + ?2/§ -
- I о |2/2). (6.16)
где "вакуум" и фазы Ф (?) равны соответственно I о, 0, 0, ty =
я~*/4(2я)~(!У+10/2ехр (igp-V2ff/2 + iq^l -
- ig^1>8'i+Ф(<)), (6.17)
t
Ф (*) = j [- г#о (t) + Sp (61Ц-1Ц2 - b2) + i (ci^-1^! -
0
- pi"1 ^i)] c7t. (6.18)
Матрицы ц;, J и векторы |, 8Л, S2, входящие в (6.16) - (6.18), имеют вид
1 id) >(2) 1 Ч2)
1X1 _ /2 /2Х(r) У 2^ ; _ _ V 2 ущ?
1 ^*(1) %*(2) ЕК 0
Из -у=- У2У(r) Y2lf ; J = 0 lEN-K "
я,-
6"
-(?)¦
где = af= ik<?> + 4i),F'2A = i6^1)+ 6<1}, ip2r + psr_x = = zr, г =
1,2,... ,1, Ps_K = ks, s = К -У 21 + 1,... ,N; EK и EN-k - единичные
матрицы размером К X К и (N - К) X (N - К) соответственно.
Используя (3.14) и (6.10), можно показать, что операторы Аь Ът, Is,
взятые в моменты времени t + Т и t, связаны между собой соотношениями
вида (4.6), (5.1), (6.4). В силу этих соотношений и простоты спектра
операторов между состояниями | а, *, к, ty, рассмотренными в те же
моменты времени, имеется связь вида
| оц, zr, ks, t + ТУ = ехр [Ф (Г)] (е 1\и е hK+l+r lhK+rzr, е b$ks, ty.
(6.19)
Квазиэнергетические состояния получаются из волновых пакетов (6.19) с
помощью интегрального преобразования - естественного обобщения формул
(4.11), (5.8), (6.8):
Где d2zr = d (Re zr) d (Im z,,); d2at = d (Re a;) d (Im a,); числа vs, pr
- вещественные, mr - целые, nt - целые положительные, а гь принимают
значения 0 и 1.
Квазиэнергетическим состояниям (6.20) отвечает спектр квазиэнергии
смешанного вида
к I
е = ^ [щ + hi + ^ {тАк+г + РгЬк+1+г) +
1=1
IV
~уГ ^ | ^'s^s ~Г Ео* (6-21)
s=K-f27-fl
Ей
I
[По (г) + Im (A*A)} dr.
Квазиэнергетические состояния | nh mr, pr, vs, e's, t> являются
собственными для полного набора квадратичных интегралов движения
AiAj-, Ds = V2 (/jv+s-^s "Г ^s^N+а)"
Nt
Mr - (2i)-1 (ZfzN+r - ZrzLr); (6.22)
= 1U {ZrZr+N + Zr+N%r + ZL,Zr + Z)TZjv+r), образующих подалгебру Картана
алгебры Ли группы Sp (2N, Е):
Ni | nh mr, pr, vs, es, О = "i | "V, Pr> vs> es> О
Z)s | 77^, 777r, pr, V3, Bs, 7) Vs j 77,-, 777r, pr, Vs, Bs,
ty
Dr | 77г-, 777r, pr, V3, 6S, ty pr J 77^, 777r, pr, Vs, Bs,
7)
Mr I nh mr, pr, vs, es, ty = mr\ nt, mr, pr, v3, es,
ty.
(6.23)
§ 7. Динамическая симметрия квазиэнергетических состояний
В качестве группы симметрии нестационарной квадратичной системы можно
рассматривать группу G, являющуюся полупрямым произведением вещественной
симплектической группы Sp (2N, R) и группы Гейзенберга - Вейля Н (N): G =
Sp (2N, R) Д H(N). В случае стационарных систем эта группа и тесно
связанная с ней I Sp (2N, R) рассматривались в работах [201, 110].
В нестационарном случае динамическая группа остается той же, как было
отмечено в [294, 74], и ее генераторы строятся из линейных интегралов
движения [74]
X,J = 7,7; + Ijli, Yj=Ij, Z = I. (7.1)
Легко проверить, что Хгу, YI являются генераторами неприводимого
унитарного представления алгебры Ли группы G =
157
= Sp (2A, R) Д H (А). Подгруппе Sp (2A, Й) отвечают генераторы Xu,а
нормальному делителю И (N) - генераторы Yj, I [202].
Состояния (6.19) являются орбитой [202-2051, порожденной подгруппой Н (N)
из "вакуума" | 0, 0, 0, ty путем действия на последний операторами
группового сдвига:
|а, г, к, О = ехр а*Аг + +
Симплектическая группа Sp (2N, R), являющаяся группой внешних
автоморфизмов группы Н (А), порождает на орбите соответствующее линейное
каноническое преобразование параметров а,2, к. Так как "вакуум"
определяется из условий
то группой изотопии (малой группой) "вакуума" является карта-повская
подгруппа Sp (2N, R) (6.10), отвечающая картаповской подалгебре вида
(2.12), порожденной генераторами
Из (6.22) следует, что квазиэнергетические состояния возникают в связи с
задачей о разложении на неприводимые представления сужения представления
группы Sp (2A, R) Д Н (N) на некоторую ее картановскую подгруппу.
Геометрически это соответствует расслоению орбиты {а, 2, к} на
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed