Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
как обычно [360], в представлении Шредингера через операторы рождения d0
и уничтожения ска фотонов с волновым вектором fc, частотой со и вектором
поляризации ека в виде
А = Y'-w 2 [е*° ехр (шг)+еь° ехр Шг)] ш=' (1-8)
/с, о * к
причем екаек'а< = боо', ек0к = 0 (а = 1, 2).
Операторы рождения и уничтожения фотонов подчиняются бозонным
коммутационным соотношениям
Cfc'o'l = (CfcO> Ck'a'l = fCfco' =
Будем рассматривать системы, у которых ток j допускает линейное
разложение по интегралам движения в виде
j = a up (t) № (t) + № (t) /i2) (oi, (i.9)
x
где
WWk-Pv Aa)W|tl = ?v (1л°)
Укажем, что системы с квадратичным по координатам и импульсам
гамильтонианом допускают представление j в виде (1.9) [206]. В §§ 2-5
этой главы будут рассмотрены конкретные примеры таких систем.
Построим из интегралов движения и /[2) операторы рождения и уничтожения:
4 = 'тг [- ^ +/(^ А -ут иЯ' + ft'h (i-и)
удовлетворяющие стандартным бозонным перестановочным соотношениям.
165
Ток j можно выразить через А% и А% в виде
где
j\ = yf + if]; i* = 2-г/г[011} + if]- (1.13)
В первом порядке теории возмущений функцию Грина гамильтониана Ж можно,
как известно (см. [99], стр. 142, (6.17)), представить в виде
tj.) = Uo(t2, ti)U&(t2, tx) -
f 2
- i^dxU0(t2, t) U-p(t2, t) Ж int (t) U о (t, t1)U?(r, tx), (1.14)
n
где U$ - оператор эволюции, отвечающий гамильтониану свободного поля
фотонов ЖF" а Жм (т) = jA.
Амплитуда перехода в первом порядке по электромагнитному взаимодействию
jA, описывающая процессы излучения и поглощения фотона при переходах
между стационарными состояниями, дается выражением
МЫ = <Ет, f; ту | l/Ы (t2, | гп, in; Пу}, (1.15)
где пу и т/iy - числа фотонов в начальном и конечном состоянии
соответственно. Подставляя в (1.15) функцию Грина 1/Ы (1.14) и используя
соотношение (1.4), находим в дипольном приближении При ГПу Пу
М(1) = <Em, f; ту | U (t2, П) 21 [j\((r))'ek(A &) +
х
+ i?ИекоА1 (*1)Ие"> in> V> (!-i6)
где
tz
i% (со) = ^e-l<ax]\(x)dr. (1.17)
и
Выбирая теперь для интегралов движения А (t) в качестве начальных условий
А1а (t) и устремляя t2 и ^ к бесконечности, получаем
м(1) = З^йп'ЗКп'МяИХйло^(r))) + <"' (ehoh ((r)))Ь
п' X
(1.18)
где амплитуда перехода Мв нестационарной системе без излучения фотона
равна
М%П' = lim (Ет, f|Z70(^, П)|еп', in). (1.19)
tr+OOy tl-+-00
166
Матричные элементы (п' \ А(tm) | п) берутся по начальным состояниям
<п' | А^ | и) = <en', in | Ля1118", in). (1.20)
Из (1.16) следует, что зависимость матричного элемента от частоты
содержится только в фурье-компонентах тока j% (t) вида
+СО
jx И = jj e-ia>xjx(r)dr. (1.21)
-г со
Наряду с переходами между стационарными состояниями можно рассматривать
переходы с излучением (поглощением) фотона между когерентными состояниями
системы.
Амплитуда перехода между когерентными состояниями с излучением фотона
дается формулой
= <Р, f; ту | UW (t2, fj) | a, in, wv>, (1.22)
где | а) - нормированный собственный вектор операторов а^:
flja) =aja>, ах = 2"'/z (ipx + gx). (1.23)
Подставляя в (1.22) явное выражение для функции Грипа (1.14), находим
формулу, аналогичную (1.18):
М$Ъ =¦ С da'S [<<*' | Alx (t) | a) ehJ% M +
J X
+ <a'| (Ахп)Г(М|а>еЛО</х((0)] MjW" t1-24) где da = П - d (Re a^) d (Im
a^). Переходя к пределу в (1.24)
\l f
при (j-"-oo и - оо с учетом <а' | A%{t^) | а)> = ax<V| а)
(см. (1.10) и (1.23)), находим выражение для амплитуды перехода с
излучением (поглощением) фотона через амплитуду перехода без излучения
(поглощения):
м$ = Yj [е"Л ((r)) aXMPa - eHoh И Щ еХР №) МР°"] > (4-25)
X
где
м$1 = <р, f I U0(t2, Ь) I ", in). (1.26)
§ 2. Излучение заряженной частицы в стационарных скрещенных полях
В этом параграфе рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего общую
схему, изложенную в § 1, задачу о движении и излучении заряда,
находящегося в постоянном однородном магнитном поле и постоянном
неоднородном электрическом поле, потенциал которого является квадратичной
формой координат.
167
Поля подобного рода создаются в различных приборах, таких например, как
магнетрон [208, 209] и строфотрон [210, 211]. Движение и излучение заряда
в подобных полях рассматривалось в работах [212 - 217], где было показано
при некоторых предположениях, что система на одной из частот вынужденно
излучает. Различные методы расчета излучения электрона, движущегося в
постоянном магнитном поле и неоднородном электрическом поле с потенциалом
ср вида
"р = -f - № + -Q2r) - -J- (п; + а*) Л
были предложены в работах [216, 217].
Рассмотрим, следуя [217], движение электрона в скрещенных полях:
однородном постоянном магнитном поле Н, направленном по оси z, векторный
потенциал которого в калибровке Ландау имеет вид
А = (0, Нх, 0), Н = const,
и неоднородном электрическом поле Е, потенциал которого равен ф.
Гамильтониан электрона в этих полях записывается как
ж = "йг ~еср = ~L: [р + еА^ ~ (2Л)
где Ж а. - квадратичный гамильтониан вида
*J. = 4г + 4 + "ч". + т- (Q2 - *2 - f , Q = ¦?;
(2.2)
