Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 66

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 123 >> Следующая

систему единиц, в которой с = h = 1.
Векторный потенциал
А (г, t) = А0 (г) + At (г, t) (3.2)
описывает поле, являющееся суперпозицией стационарного внеш-174
него поля с векторным потенциалом . 0 и псля электромагнитной волны,
распространяющейся в волноводе (или резонаторе), с векторным потенциалом
Аг{г, t).
Предполагается, что внутри волноводов и резонаторов - ва-куум, а
распространение волн не сопровождается затуханием.
При рассмотрении цилиндрических волноводов за ось z принимается
направление образующей волновода. В комплексной форме записи фаза
электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси z, определяется
множителем ехр [i (ш - kzz)\ = ехр (tr), где к = (0, 0,. kz) - волновой
вектор, а со = | к | - частота волны. Существуют некоторые минимальные
значения частот (Ощ1п распространяющихся волн [224, 225].
В дальнейшем будем предполагать, что возбуждается колебание какой-либо
одной моды. Такое предположение является вполне допустимым (см. [211]).
Так как комплексная напряженность электрического поля волны в волноводе
или резонаторе экспоненциально зависит от времени:
то из уравнений Максвелла следует, что, выбирая для векторного потенциала
Alt соответствующего этой напряженности, кулонов-скую калибровку div
Аг{г, t) = 0, получим
Скалярный потенциал при этом равен нулю.
Волны в волноводах и резонаторах, как известно, бывают волнами
электрического типа (в поле этих волн отсутствует компонента магнитного
поля по оси z) и волнами магнитного типа.
Если частота изменения Ах достаточно велика, то заряд движется по плавной
траектории, заданной эффективными статическими полями, с небольшими
осцилляциями около нее, вызываемыми высокочастотным полем волны. Тогда
полезно воспользоваться методом усреднения Капицы [226]. При этом можно
считать, что заряд движется в постоянных внешних полях и в поле с
эффективным потенциалом Ф, который можно получить, усредняя по времени
гамильтониан (3.1), описывающий движение заряда:
Е (г, t) = Е0 (г) еш,
(3.3)
(3.4)
(3.5)
где черта означает усреднение по времени:
т
A\{t)^\A\(x)dx, Т = ^
(3.6)
О
175
Учитывая (3.4), формулу (3.5) можно переписать в виде
что совпадает с выражением для эффективного потенциала, полученным
классическим образом [227].
Выбирая в качестве внешнего поля постоянное однородное магнитное поле Н с
векторным потенциалом
находим эффективный гамильтониан Ж, описывающий движение ведущего центра
орбиты заряда, в виде
Точки, где напряженность электрического поля JE равна нулю, являются
положениями равновесия эффективного гамильтониана. В симметричном
резонаторе (волноводе) это обычно центр (ось) симметрии. При рассмотрении
ограниченных траекторий вблизи таких положений равновесия можно разложить
потенциал Ах (г, t) в ряд вблизи точки равновесия, ограничиваясь при этом
только линейными членами. Тогда гамильтониан (3.9) будет квадратичной
формой координат и импульсов вида
где В - шестимерная вещественная симметричная матрица, которую, как ив
гл. III, будем записывать в блочном виде:
и импульсов р = - idldr по следующему правилу: Qj - pj, Q34 = r;-, j = 1,
2, 3. Явные выражения матрицы В для цилиндрических волноводов круглого,
прямоугольного и эллиптического сечений и некоторых резонаторов приведены
в [228] и [207].
Рассмотрению движения заряда в полях волноводного типа с различными
гамильтонианами, являющимися частными случаями квадратичного
гамильтониана (3.10), посвящена большая литература (см., например, [229-
232] и [207], где имеется подробная библиография).
Для того чтобы можно было описывать движение частицы с гамильтонианом
(3.10), необходимо, чтобы при правильно заданных начальных условиях
вблизи оси волновода или центра резонатора траектория частицы не нашла за
пределы областей, где справедлива аппроксимация точного гамильтониана Ж
(3.9) квадратичным Жв (3.10). Таким образом, рассматривая движение заряда
в параксиальном приближении, необходимо исследовать устойчивость движения
заряда по оси волновода или устойчивость равновесного положения в
резонаторе. Будем исследовать устойчивость классической системы, которая
соответствует квантовой
Л0 = 72 [г х Н],
(3.8)
X = {р - еА0) 42тп + Ф.
(3.9)
Ж в = QBQ,
(3.10)
176
с гамильтонианом (3.10), не зависящим от времени. При исследовании
устойчивости будем использовать критерии устойчивости, полученные в
работах [233-236], (см. также монографию [157], где содержится подробная
библиография).
Классическая траектория в фазовом пространстве (р, q) находится из
гамильтоновой системы уравнений
dQ/dt = 22BQ, (3.11)
отвечающей гамильтониану Ж (3.10).
Фундаментальной системой решений (3.11) - ее матрициан-том - является
матрица
Л-!(г) = ехр (2SBt). (3.12)
Решение Q (t) системы (3.11), проходящее через начальную точку Qo =
(Qo, Ро), дается выражением Q (t) = Л-1 (t)Q0.
Матрица Л-1, ввиду симметричности В, является симплектической:
Л-1 (г) 2 Л-1 (г) = 2.
Как известно [157], для того чтобы решение Q (t) = 0 системы
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed