Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ж-ш = ^-(А2я), (2.22)
где Л2 - векторный потенциал поля излучения, который в шре-дингеровском
представлении имеет вид
Я2=? уГ е%0 [cju, ехр {ik%r) + с(а ехр (- ik%r)}; (2.23)
Я., о Г
здесь ejy, е%2 - единичные векторы поляризации, а с^, и cj?, - операторы,
подчиняющиеся бозонным коммутационным соотношениям. Оператор Жш допускает
представление вида (1.7) с током ./ вида (1.12).
.171
Рассмотрим сначала в дипольном приближении индуцированное излучение
электрона при переходе из когерентного состояния | <*i, а2, а3> = | аь
а2> | а3), где | а3) - когерентное состояние, отвечающее осцилляторному
гамильтониану Жг, а а3 = = а3 ехр (-m3t), а3 = const, в состояние | рь
р2, рз>.
Пусть начальное состояние электрона описывается матрицей плотности pm,
которая в P-представлении Глаубера [94] имеет вид
з
Pin = J Pin ("i, а2, а3) I аь а2, а3) <аь а2, а31 J] d2ah (2.24)
}=i
а конечное состояние описывается матрицей плотности рг, отвечающей другой
Р-функции - Pf.
В случае неполяризованной падающей волны для вероятности вынужденного
перехода с излучением фотона частоты со2 в интервале углов do получим
[217]
^ind 2л2е2{7 (С02) г/ 2 1 |~*2\ 2\ i / 2 . 2\ /л 2\,
-7Z- = 7-г- \ [((r)2 -1- П2) 1 - nl) + (со2 + Щ (1 - ni)} X
ао тюг (со^ - со^)
3
X $ Pin(ab a2, a3) Pf (Рь p2, |33) | <рь р2, р31 ?2 | аь а2, а3> |2
Пd2a}d2Pj,
;=i
(2.25)
где п - единичный вектор, направленный вдоль волнового вектора, а U (со2)
- интенсивность падающего излучения на частоте со2. Индуцированное
поглощение на частоте со2 дается формулой
(2.25) с заменой на ?2 Окончательно суммар я на частоте со2 равнг
й _ 2"W(%L|(<0> + QJ)(1 _ ".) + (ш! + о;,(1 _ ";)Гх
Окончательно суммарная мощность индуцированного излучения на частоте со2
равна
_____________
d° т (со2 - со2)
X \ Pm (ai, a2, a3) Pt (pb p2, p3) (| p212 - | a212) x
X exp (- V | aj - Pj |2) П (2-26)
Отметим, что на частотах (c)i и со2 происходит суммарное поглощение. Для
частоты вц, например, имеем
'¦Ф- = [("{+OS (1 - n,f + (";+QJ (1 - 4)1 X
m (со2 - со2)
X $ Pin (ai, a*, a3) Pf (p1} p2, p3) (| ctj |2 - | Pi |2) X
Спонтанное излучение на частоте со2 дается формулой (2.25) с заменой
множителя U (соа), описывающего падающее излучение, на со^/(2л)3.
Общая формула (2.25) позволяет легко вычислить вероятность
индуцированного излучения в том случае, когда начальное I "1, Щ, п3) и
конечное | mlt т2, т3У состояния системы стационарные. Подставляя в
(2.27) выражения Р\а и Pt, соответствующие стационарным состояниям,
находим
Для вычисления спонтанного излучения электрона при переходах между
стационарными состояниями в общем случае, когда экспоненциальным
множителем в выражении для оператора взаимодействия пренебрегать нельзя,
представим этот множитель как произведение вейлевских операторов сдвига
D}- (2.15). Производя несложные алгебраические действия и используя
формулы
(2.4) и преобразование, обратное к (2.7), находим тождественно
Матричный элемент перехода Mj, описывающий излучение из начального
состояния | nlt п2, п3) (фотонов нет) в конечное состояние | mi, тп2,
тп3У (один фотон с частотой со*., импульсом кх и вектором поляризации
е*), дается формулой
d<nd _ 2jiW (со2)
[((r)2 4" й2) (1 - пх) + ((r)2 + й3) (1 - И*)] X
X (П2 -f- 1) пДтг, n2+l6fjn, ns- (2.28)
зжо2(со3 - Ц)
ТП2, П2+1иТП8, П8*
3
ехр (- iU%r) = П D} (Д3-); ?3 = а3, (2.29)
3=1
где Dj(Aj) задаются (2.15), а параметры Дj равны
(2.30)
М} = <тпи тп2, тп3 | (ё}1} + ё?ф ехр ( - ikKr) | щ, п2, п3>
j = 1, 2, 3,
(2.31)
где
W+ (r)lexx-iVcol + й!ej', (2.32)
173
Учитывая действие бозонных операторов на стационарные волновые функции, а
также используя тождество (2.29) и известную формулу для матричных
элементов оператора D, имеем окончательно
Mi = (gj Vmi + 1 + ё*Ущ\ч) Ab
где
ц± _ / Wj±l|)/2 ]A(mj ± !)! "jl I_| . |2\
Ц ' [(Pj ± 1 + | ?j ± 11)/2]! V 2 1^1 ;
X
X |A;|ki±llA-5j±1)/a (A;)"(,j±1)/ai,S;±xl|e/±1|,/,(| Ail2); (2.33)
Aj = n (- i)(ai-|4i|)/a [(p^7g"i)/2]!-exp (- 4- iAi i2) iAi X
X (Af)~4i/2L[p*l|r/il)/2 (I Ai Г)- pi = mi + nb qi=mi - Щ, (2.34)
a Lp - полиномы Лагерра; в произведении П штрих означает,
i
что множитель с i = / должен быть опущен.
Вероятность спонтанного перехода в единицу времени с излучением фотона с
импульсом Лт^, частотой сщ и поляризацией в интервале углов do дается
формулой
±м, I
dwa% е2шх
do 2ят? |
j=i
где (ах - (пг - ma)(c)i - (га2 - тп2) (c)2 + (щ - т3)(c)3.
§ 3. Когерентные состояния заряженной частицы в полях волноводного типа
Рассмотрим частицу с зарядом е и массой пг, движущуюся внутри волновода
или резонатора, в котором возбуждены собственные электромагнитные
колебания. Считаем, что волновод (или
резонатор) помещен во внешние стационарные поля.
Поведение нерелятивистского заряда е в полях с векторным потенциалом А и
скалярным потенциалом ф описывается уравнением Шредингера с
гамильтонианом
М = 2^ ~ еА? + еф' (ЗЛ)
где р ~ -i д/дг - оператор импульса частицы. Здесь и далее мы используем
