Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
\jhx должно быть возрастом вселенной - вывод, который мы теперь
исследуем.
§ 9.7. Частные модели вселенной и возраст вселенной 269
Если l/ftj должно быть прямо пропорционально времени расширения, то из
соотношения
*1 = Я'(*о)/Я(<о>
следует, что R должно иметь форму
R=R°(?f' (9-708)
где R0, t0 - постоянные, а п - число, большее нуля. Нет надобности
задавать значения k и А. Используя определение кг и соотношение (9.70S),
имеем
*0 = ^. (9.709)
Теперь момент ? = 0 можно считать начальным моментом расширения, так как
в этот момент каждый объем, заключенный внутри конечного радиуса г,:,
равен нулю [см. (8.318)]. Таким образом, t0 в соотношении (9.709) -это
время, протекшее с момента начала расширения до наших дней, т. е. его
можно назвать возрастом вселенной. Но этот результат зависит от
начального выбора (9.708) для R, который не был обоснован и который ведет
к следующим трудностям. Во-первых, предположим, что численное значение Л2
известно; тогда
h - ^ - п(л___ 1 \ _L -. п ^
л(<о> ( 4~~ п
или
к
ft2 - h2
Но так как п > 0, то h2 < h\. Это - численное соотношение, которое можно,
а может быть и нельзя, вывести из наблюдений (см. § 9.2). Во-вторых,
соотношение (9.708) и уравнения Эйнштейна (8.210) и (8.211) дают для
плотности
и давления
хс2р = -5 -щ -) 72 - Л,
ЗЛс*#1 1 , 3rt2
Rl tln ' t2
л n
xp - ¦
19 Г. Мак-Витти
1 п (Зи - 2) , v
pi t2n t*
270
Глава IX. Модели вселенной и система галактик
Поэтому в общем случае р 0 и р 0 только для тех значений t, которые
удовлетворяют неравенствам
а при всех остальных значениях t давление и плотность отрицательны. При
произвольном выборе k, R0, t0 и Л этим неравенствам нельзя удовлетворить
при всех значениях t. Однако, принимая специальные значения для п и вводя
специальные зависимости между этими четырьмя постоянными, можно добиться
удовлетворения неравенств (9.710). Рассмотрим в качестве примера случай
я=1, при котором возраст вселенной равен 1 fhv Тогда (9.710)
удовлетворяются для всех значений t в предположении, что Л=0, k = -1 и RQ
= ct0, но не иначе. Таким образом, хотя существуют физически
правдоподобные модели, в которых 1//Zj пропорционально возрасту
вселенной, такие модели включают произвольные предположения о постоянных,
которые входят в эту модель.
В качестве второго примера рассмотрим следствие распространенной догмы,
что Нх - естественная постоянная и что ее численное значение не зависит
от времени наблюдения t0. Для того чтобы это обстоятельство имело место,
мы должны
тогда как значения к и Л можно не конкретизировать. Беря опять /? = 0 в
качестве начального состояния, получаем, что R - 0 при t = - со, так что
возраст вселенной является в этом случае бесконечным. При этом 1 /Л1
равно промежутку времени, необходимому для увеличения R в е раз, и
интерпретация 1/ftj как возраста вселенной, таким образом, оказывается
непригодной. Кроме того, в силу (9.711), h2 - h\ - условие, которое,
вообще говоря, может не подтвердиться наблюдениями. Наконец, уравнения
Эйнштейна показывают, что р)>0 и только для тех значений t, которые
удовлетворяют условию
(9.710)
п2 . 2п (п-1)
иметь
R = RQehJ (hl = const),
(9.711)
§ 9.8. Неоднородные модели
271
Число этих примеров можно было бы увеличить [9], однако уже достаточно
было сказано для того, чтобы показать: а) численное значение 1 /Лг само
по себе не определяет возраста вселенной, который определяется
преполагаемой формой функции R; б) даже такие очевидные предположения о
форме этой функции, как (9.708) и (9.711), могут приводить к физически
неприемлемым следствиям.
§ 9.8. Неоднородные модели
Однородные модели вселенной, рассмотренные до сих пор, по-видимому, будут
представлять систему галактик только в качестве первого приближения, так
как каждую отдельную галактику следует рассматривать как некоторое
локальное сгущение вещества. Неоднородные модели, в которых плотность и
давление являются функциями и положения и времени, можно получить при
помощи уравнений Эйнштейна, если принять, что галактика является
гравитирующим сгущением вещества, погруженным в окружающую идеальную
жидкость. Если имеется одно сферически симметричное сгущение, находящееся
в точке г = 0, можно найти точное решение уравнений (6.425) - (6.428)
110]. Однако более реальным типом модели вселенной будет модель с
произвольным числом сферически симметричных сгущений. Хотя точное решение
этой проблемы неизвестно, имеется приближенное решение [11]. В качестве
путеводной нити возьмем опять приближенное решение (4.226) уравнений
Эйнштейна, а именно
rfs2 = ( 1 - хф)(^4)2- {(dxlf+(dx2f + {dxzf\, (9.801)
и пусть это решение соответствует п сферическим телам с массами mv т2,
..., тп в некотором в остальном пустом пространстве-времени. Тогда
результаты § 4.2 показывают, что б должно удовлетворять уравнению Лапласа
V2 б = 0,
и приближенное решение должно иметь вид
(9.802)
П
П
(9.803)
19*
272 Глава IX. Модели вселенной и система галактик
