Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
4~а
т~ ZQRl " \ 5 а2
у2 I 2
Ча
N.
С? 1 -
9 С?
(9.303)
Подставляя соотношение (9.111) в эту формулу и ограничиваясь точностью до
(AjD/c)2, после некоторых вычислений получаем
N"
4тса
зЩ
D3
4~
2,2
ah.
1 - hiD '
3hlD
¦3 2
h1 -f- h2
2 hi
(9.304)
что дает соотношение между Nm и фотометрическим расстоянием D,
соответствующим предельной звездной величине т. С другой стороны,
комбинируя (9.203) и (9.209), мы имеем, с точностью до Ах/с)2,
Г ( h.Ax \ ( (А? + h
°=Ч'"Ч^Н+К-^
+
-Ь ^ th - 62
hxAx \2
(9.305)
где, конечно, А (=101_0'2Ж°) зависит от принятой общей абсолютной
звездной величины М0 источников света. Подставляя (9.305) в (9.304),
имеем, после дальнейших вычислений, с точностью до (Aj/lx/c)2
N
т 3QRq
1
3(1+?1)(A^)+
3 I 2(1 +^j)24--9 b\ ?>2 +
+ 0 +^l)
h\ + h2
2 A?
A?
h.Ax
(9.306)
252 Глава IX. Модели вселенной и система галактик
что представляет собой требуемую формулу, связывающую число источников
света на 1 кв. град, неба и предельную видимую звездную величину tn (=5
lg х). Подгонка этого теоретического соотношения к данным наблюдений
может быть произведена следующими различными путями.
Метод I. Сначала не будем учитывать величин hx и /г" получаемых из
(9.213) и (9.214) по данным о красном смещении. Абсолютная звездная
величина М0, которая входит в выражение для постоянной А в (9.306),
отождествляется со средней абсолютной звездной величиной галактик,
близкой к нашей Галактике; поправка Стеббинса - Уитфорда здесь
пренебрежимо мала. Тогда, вводя обозначения:
0 3 QR\
5, = -3(1 +&,)
B2 = z\y2{\+bxy + \b\-b2+ (9'30°
/ Л? + й2\ 2 с2 } I htA\2
+<1+S'4^r)+I A?l(-) B"-
запишем формулу (9.306) в виде
Nm = (BQ + BlX + B2s?)x*. (9.308)
Используя все имеющиеся в распоряжении пары значений Nm и т, можно
определить численные значения В0, Вх и В2. После этого (9.307), (9.102),
(9.106) и (9.302) совместно дают:
=^-5010°'6Ж^3 парсек~3, (9.309)
се*-1' (9-310) 1+*1 7?о с2 k 21П0,4Ло-2Г 1 В2
- -5-=С'Ю
),4М0-2 Г
И
2 R0 ' 10 Rl L3 Во
Тб02(ж) +^b\-b2 +
9(1+'
+- y(1 +A)} ] сек~2, (9.311)
§ 9.3. Число галактик и видимые звездные величины 253
где
Q - 41253, fij = 0,2E(JC1-hW1),
b2 = Q,2E(K2JrW2), с = 9,711 • Ю-9 парсек ¦ сек~1.
Первая из этих формул будет рассмотрена в § 9.5; вторая определяет
параметр Хаббла независимо от данных по красному смещению [формула
(9.213)1; третья показывает, что постоянная k и параметр RojRo не могут
быть численно найдены независимо друг от друга с помощью этого метода.
Два значения параметра Хаббла, определяемые (9.213) и (9.310)
соответственно, не являются обязательно одинаковыми, так как в этих двух
методах расчета не только используются различные типы данных, но и
области изменения m также сильно отличаются друг от друга. Тем не менее,
если приравнять друг другу эти два значения hv мы получим
Й1 = -4 А-тпЪг 10°'(tm)°-'= 4- ю0'2^-1.
<3 а о 1 т" 01
Если предположить, что рассматривается одно и то же значение М0, то можно
найти Ьх и, следовательно, /Cj -Н^i* Поэтому
щ = _К1_Ц1 + А^у (9312)
что определяет первую постоянную в выражении (9.207) для поправки
Стеббинса - Уитфорда. Это определение, конечно, предполагает, что
параметры красного смещения и число галактик могут быть "подогнаны" к
пространству-времени (8.208). Подсчеты числа галактик, по мнению ряда
астрономов, столь неточны, что бесполезны для астрономических приложений.
Важность этих подсчетов, тем не менее, не должна быть принижена, особенно
если учесть, что они могут помочь в определении поправки Стеббинса-
Уитфорда.
Метод II. Предположение, которое теперь делается, состоит в том, что Aj и
А2 предполагаются известными из данных по красному смещению и что К j, К2
и Wv W2 непосредственно подсчитаны. Таким образом, Av А2 и bv b2
рассматриваются теперь как заданные числовые постоянные, и поэтому
значение выражения
_ О 1+^1
с } ( Г 5 Л,
18 Г. Мак-Витти
Глава IX. Модели вселенной и система галактик
которое встречается в (9.306), известно для каждого значения т. Ввиду
этого (9.306) можно записать в виде
Л^ = С{*3--3Л + М*4| + С2Х5( (9313)
>ie п Л3,
где две неопределенные постоянные равны ~ 4г.а
3 QRl
C2 = 3{2(l+^)2-f +
(9.314)
*1+*2____________
2h\ )^5 a2h
+o+*i) +
-1-i J A\
Численный подсчет Cl и C2 с использованием данных о Nm и т определит в
комбинации с (9.207) и (9.208) а/#о и kfRo (=4с-2) посредством равенств:
" = 30 С]Шо,бЛ1о-3 Парсек-*, (9.315)
АЛ
, h \ ~ 2 + 3*, +4-6? - Ь.
= С2
10 i 3Ci А2
- } парсек~2, (9.316)
где
Q - 41253, й^О^Е^ + П^), b2 = 0,2E(K2-\-W2), с - 9,711 • 10-9 napceujceK.
Следовательно, в этом методе hx и h2 определяются зависимостью между
видимой звездной величиной и красным смешением, тогда как а//?о и k/Ro
выводятся из подсчетов числа галактик. В частности, k равно -+1, 0 или -1
в зависимости от того, положительна, равна нулю или отрицательна правая
часть (9.316). Таким путем можно получить Ответ, является ли
пространство-время (8.208) сферическим, плоским или гиперболическим.
