Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
(8.211) можно представить в виде
R" 4-G Rf
r - з m R3
Ро~&т> (8.806)
(-г) =
8(r)Gp0^o ( 1 3kc2
R3 8-GPo/?2 RqR2
(8.807)
Ньютоновское приближение к последним двум формулам означает замену с на
бесконечную скорость . При этом k->0, так как эвклидово пространство
механики Ньютона
238
Глава VIII. Однородные модели вселенной
является плоским. Таким образом, если &->0 и с -> rff так, что
с -> & 8лОр0/?о "
k -> О
где kn - конечное (положительное или отрицательное) число, то уравнение
(8.807) принимает вид
Теперь мы получаем полную формальную аналогию между соотношениями
(8.806), (8.808) и (8.802), (8.803) в том смысле, что / является той же
самой функцией от Т, что и R от t. Мы приходим к выводу, что однородная
модель
вселенной, в которой ¦-= 0 и Л = 0, имитирует ньютоновское течение
жидкости, описываемое соотношениями (8.801), в такой степени, что в этой
модели имеются та же формула для давления и одинаковые функциональные
формы для / и R. Однако из этого не следует, что рп = 0 при
= 0. Распределение вещества, движение которого описывается (8.801),
можно, таким образом, назвать ньютоновской моделью вселенной,
соответствующей нулевому значению космологической постоянной.
Ньютоновскую модель вселенной для ненулевого значения космологической
постоянной
fTr
можно найти, предполагая в (6.508), что q=-y~, повторяя
анализ § 7.2 для определения соответствующей функции б и подсчитывая
после этого плотность и давление по формулам (6.506) и (6.507). Если
добиться того, что р и р зависят только от Т, то получатся формулы,
аналогичные
(8.210) и (8.211).
ГЛАВА IX
Модели вселенной и система галактик
Однородные модели вселенной, рассмотренные в предыдущей главе, содержат
два параметра, которые не могут быть определены посредством теории, а
именно функцию R (t) и постоянную k. Поэтому если эти модели заинтересуют
астронома, то необходимо показать, что эти две неизвестные величины могут
быть выведены из наблюдений системы галактик. Решение этой проблемы ни в
коей мере не является простым, по крайней мере в точном виде; тем не
менее метод разложений, который будет изложен, дает частный ответ,
который, вероятно, окажется полезным в ближайшем будущем.
§ 9.1. Время распространения света, координата положения и
фотометрическое расстояние
Отождествим типичную галактику Pt с источником света, имеющим
фиксированные координаты (rt, cpf) в пространстве-времени (8.208). Свет,
испущенный этой галактикой в момент tt, наблюдается в точке О (0, 0, 0) в
момент t0. Меняя определение координаты С из (8.304) на следующее:
? = R(t0)r = R0r (9.101)
и вводя обозначение
" 4 Rl
(9.102)
k '
запишем метрику (8.208) в виде
W I rfC' + C2(rf()2 + sinW) )
Л?§\(I + W г (9Л03)
Первый шаг в методе разложений состоит в том, что время прохождения света
от Pt до О, которое равно t = tQ - tt,
240 Глава IX. Модели вселенной и система галактик
выражается в виде степенного ряда по координате Сг - /?0лг. Это
выполняется при помощи уравнения нулевой геодезической линии (8.409); в
наших новых обозначениях оно имеет вид t
J't+w='*o f-m- (9-|04)
0 h
Обозначая временно
40 = /
dt
имеем
Rif) '
F4t)=X. f"(o=-г"'т=-т?+Ш)г-
(9.105)
Следующие две функции от tQ будут играть важную роль в нашем
исследовании:
R' ПЛ R' R" (L) R"
(9Л06)
Первая из этих функций является так называемой "постоянной Хаббла", хотя
ни теория, ни наблюдения не могут показать, что эта величина
действительно не зависит от t0 и является постоянной. Мы будем называть
ее в дальнейшем параметром Хаббла. С учетом (9.106) выражения (9.105)
принимают вид:
R0F' (t0) = 1, R0F" (t0) = - hv R0F(t0) = -ft2 + 2hi
Разложение в ряд Тейлора правой части равенства (9.104) с точностью до
членов т3 дает Ч
/ cR0 {F (t0) - F (V} = cR0 {F (tQ) - F(t0- t)} =
о
= cR{\f (tQ) - F (t0) + -.F' (t0) -1 -?F" {t0) +1 г3 Fm Ц -= 1 +^-
A1x + 1(2A?-A2) x2 j .
Разлагая в левую часть равенства (9.104) до члецов порядка ?2/а2 и
интегрируя, запишем предыдущее соотношение в виде
* = Т " Т -4 - 7 Jr •
§ 9.1. Время распространения света
241
получаем первое, второе и третье приближения по степеням С,-/с для
величины т:
,=т-Щт1' <9Л07>
"¦><*>
Таким образом член в левой части "уравнения (9.104), содержащий а~2,
появляется в выражении для т только тогда, когда ряд для т включает члены
порядка (СJc)3.
Следующий шаг состоит в том, чтобы связать т и с фо-
тометрическим расстоянием D источника Pi посредством формулы (8.517),
имеющей теперь вид
__ 7?0 С/
Поэтому приближенно
0 = с,11 -
J1
ro - roz + yroz = (l -1+^i'c4-(a? -2)'с2}-
откуда, используя соотношение (9.107),
& (с2 1 \ С?
Сг = D -~2 hi J , (9.109)
что дает для первого, второго и третьего приближений по степеням D для
величины
C, = D.
^=D(l-4LD)' (9л1°)
Следует подчеркнуть, что член а~2 в формуле (9.111) появился потому, что
он содержится в формуле для D, а не
"242 Г лава IX. Модели вселенной и система галактик
как следствие подстановки выражения для т. Комбинируя соотношения (9.107)
