Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
причем сгущения расположены в точках (х\, х?, х?),
С другой стороны, если сгущения отсутствуют и имеется только однородная
.идеальная жидкость, то соответствующее пространство-время имеет метрику
(8.302), где (t, х, у, z) = = (х4, х1, х2, х3). Это указывает на то, что
комбинация сгущений с распределением идеальной жидкости будет обладать
метрикой вида (4.401), где
D= 1 - хф, A = B = C = c2(lR^ ^/4)2(1 + *<¦>); (9.804)
здесь ф и со - функции всех четырех координат, и степенями ¦/. выше
первой следует пренебречь.
Первый шаг в раскрытии уравнений Эйнштейна можно сделать, если положить В
и С равными А, и обозначить частную производную от А нижним индексом.
Тогда формулы Дингля принимают вид: (г, j- 1, 2, 3)
8 itGAT" =
8 TzGA4tJ
D 4 A2 A-,Pj -(- AjDi
4 D2 4 AD
2 A2, " A2
(9.805)
(9.806)
(9.807)
-81гООГ44 = ^_3^_3_^ + Л. (9i808)
Предположим, что, за искючением (малых) областей, занятых сгущениями,
тензор энергии по-прежнему имеет форму, соответствующую идеальной
жидкости, а именно
§ 9.8. Неоднородные модели
273
Предположим далее, что для пространства-времени с метрическими
коэффициентами (9.804) можно выбрать сопутствующие координаты; тогда Ti4-
0 (/ = 1, 2, 3), и, интегрируя (9.807) один раз по переменной х\ получаем
d 1п у4 /-уУ^2
дх*
где F- произвольная функция х4. Поэтому, в силу (9.804), с точностью до
первого порядка по у.
2-^+*u4=,f(x4)(i - ?ф);
отсюда F - 2R'/R и
ш4 = -(9.809)
Итак, 4-вектор скорости идеальной жидкости принимает вид (а4, 0, 0, 0).
Поскольку он является единичным вектором, он удовлетворяет условию
1=(1-уф) (й4)2. (9.810)
Это форма для 4-вектора скорости жидкости приводит к тому, что Т1* = 0 (/
ф]), так как метрика ортогональна, а также Т" =(1=1, 2, 3). Поэтому в
(9.805) член
в фигурных скобках должен иметь одно и то же значение для каждого из трех
значений i (условие совместности для рассматриваемой задачи), и в (9.806)
правая часть должна равняться нулю для каждой пары значений ij при i Ф j.
Эти условия выполняются, если Z - некоторая функция, симметричная
относительно (х1, х2, х3), причем (lAtJ l Di} 3 A,Aj Z У- \2 А~т~ 2 D
4 A2
1 DtDj 1 Afij AjDt
T ~D~2 T AD
}¦
Раскрывая выражение в правой части с точностью до членов первого порядка
по к с помощью (9.804), получаем
1 кЬп у. j
ZSy - Y ' 1 + Ar2/4~ir\(w~ ^
274 Глава IX. Модели вселенной и система галактик
Поэтому симметрия по I и j будет гарантирована, если
ш = ф,
откуда
7 1 k
2 1 -j- fer2/4 '
Первое из этих уравнений совместно с (9.809) дает, после частного
интегрирования по переменной х4,
ф = ш = Т (х1, х2, х3) ¦ R~1, (9.811)
где W - произвольная функция (я1, х2, х3).
До сих пор наше рассмотрение включало, во-первых, введение сопутствующих
координат и, во-вторых, наложение условия изотропности на метрические
коэффициенты; последнее сводит тензор энергии к некоторой комбинации
плотности и давления (по крайней мере во всех точках, не занятых
сгущениями вещества). Но этого недостаточно для определения вида функции
ф. Однако известно [12], что оператор
является в случае трехмерного пространства с метрикой
2 (dxly + (dx2)* + {dx*y
(14- А/-=74)"
аналогом оператора V2 обычного трехмерного эвклидового пространства с
метрикой
ds2 = (dx1)2 -ф- (dx2)2 -)- (dx3)2.
Теперь (9.803) является суммой элементарных решений уравнения Лапласа
(9.802). Поэтому для метрики с коэффициентами (9.804) мы определим
функцию ф, соответствующую произвольному числу п сгущений, как сумму
элементарных решений [13] уравнения
§ 9.8. Неоднородные модели
275
где = ? в силу (9.811). Преобразуя это уравнение к сферической системе
координат (г, 9, ср) при помощи формул вида (8.301), получим для k Ф 0 дЩ
2 \ д Г <ЭЧП
дг2 "^/-(1 + kr2/4) дг + гг sin 0 50 \ n дЬ )'
+НИЖ=' (9'812>
для k - О, конечно,
V2*P - 0.
Элементарное решение [14] уравнения (9.812), соответствующее сгущению
вещества с постоянной массой тг-, расположенному в точке г-а,-, 6 = 6;, (r)
= <p; имеет вид
' \ а\ Zi Я/ z . J 1
где
z\ = г2 -)- а? - 2atr {cos 9 cos bt + sin 9 sin 0? cos (<p - f,)j,
/2 /2 t
Zi -r2-\-at -2#;/-{cos 6 cos 6;-j-sin 0 sin 6; cos (ср- срг)}, a av a't
связаны условием
4
aiai - k •
Поэтому для n сгущений функция ф равна
(А^0)
: (9.813)
* = T?==Ti2-? =
1 = 1
Следовательно, пространство-время, соответствующее н сгущениям вещества,
погруженным в идеальную жидкость, имеет метрику
dS2=(J _ иф) (rf*4}2 _ /(-/^+;^)2 X
X {(dx1)2 + (dx2)2 + (rfx3)3}, (9.814)
где ф дается одной из двух формул (9.813) в зависимости от значения k, а
члены порядка выше первого по х опущены.
276
Глава IX. Модели вселенной и система галактик
Влияние ф должно сводиться к добавлению малых потенциалов тяготения,
аналогичных потенциалам точечных масс в ньютоновской теории, или,
приближенно, потенциалов пространства-времени Шварцшильда (5.121), к
пространству-времени, соответствующему распределению идеальной жидкости.
До тех пор пока массы nti малы, очевидно, результаты § 8.2-9.7 не будут
