Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
?/ = v (7), р = /с, p = P - vTf-2izGP. (7.120)
Таким образом, U зависит только от времени: все части газа движутся с
одной и той же скоростью в любой момент вре-
190
Глава VII. Частые решения уравнений
мени. Так как d^/dT=0, формула, определяющая скорость изменения энтропии,
превращается в
dS.- Pj ^',/т-----------. (7 121)
dT ~ Р- fiT- 2nGf2
Рассматривая снова адиабатическое движение, находим
Ру 1 0 , Vyy -- 0 ,
следовательно,
Р = П, у = а( + (3, (7.122)
где II, а и р - постоянные. Поэтому в подклассе адиабатических течений
скорость, плотность и давление будут соответственно
?/ = crf + p. p = /t, p=ll - <zf - 2%QP. (7.123)
Наиболее простая картина с точки зрения граничных условий получается,
если газ заключен между двумя плоскостями, перпендикулярными оси X.
Расстояние между плоскостями неизменно и равно L\ слой газа граничит с
пустотой. В любой момент времени Т слой газа занимает область шириной X;
в силу (7.119) и (7.122) X удовлетворяет неравенствам
0<Х- (~я7'2 + р7')<?.
Таким образом, границы области определяются значениями С = 0 и С = L; р и
Р0 должны обращаться в нуль на обеих границах. Из равенства р = 0 следует
Д(0) -0, /с(?) = 0; разумеется р > 0 при 0 ^ С L. Следовательно, р должно
иметь максимум рт при С = / (0 < I < L). Равенство р = 0 на границах дает
0 = П - а/ (0) - 2 nG/2 (0),
\ (7.124)
0 == II - а/ (L) - 2kG/2 (?).
Поскольку внутри области р > 0, функция / должна быть выбрана так, чтобы
0<П -а/(С) -2кО/2(С), (0 < С < L).
Читатель может убедиться, что функции
/ = -pm^cos^ или +
§ ?.2. Сферическая симметрия и линейные волны 191
где fx - постоянная, удовлетворяют приведенным выше условиям. Для любой
подходящей функции / можно указать определенные характеристики. Если
окажется, что / (0) = =- f (L) ф 0, то из (7.124) следует, что а = 0 и П
= = 2irG/2(X). В соответствии с (7.123) скорость газа постоянна для всех
таких движений. Напротив, если / (0) ф ± / (L) и по крайней мере одно из
этих значений отлично от нуля, то
движение газа происходит под действием постоянного ускорения а. В любом
случае ширина области L определяется в зависимости от плотности и
давления или температуры при С = /. Например, при а -0
Но так как рт = Д (/) и / являются известной функцией Д, то
Кроме того, рт = еЯртсТт и поэтому (7.125) принимает вид
что определяет L как функцию рт и §т. Подобное же рассмотрение применимо
для случая а Ф 0. Однако при вычислении L приходится учитывать член,
содержащий О [см. (7.123)]; другими словами, если область, занимаемая
газом, имеет конечную ширину, то, для того чтобы газ удерживался в ней,
необходимо гравитационное самопритяжение газа.
Хотя применение этих результатов для межзвездного газа может показаться
чрезмерной идеализацией, интересно все же отметить, что теория при
значениях плотностей и температур, принятых для С = I (наиболее плотная
часть газа), дает ширину области от 45 до 7з парсек [2]. Эти величины
находятся в приблизительном согласии с наблюдениями.
§ 7.2. Сферическая симметрия и линейные волны
Сложности при рассмотрении сферически симметричного течения газа по
сравнению с одномерным течением возникают вследствие того, что в
уравнения (6.444) - (6.446) включают
<x = -2icO{/(0)+/(?)},
П = _ 2uG {Р (0) + / (0) / (?) + Р (Д);
Рт = 2ъО {Р (I) - Р (/)).
(7.125)
/(9 = *(Рт)-
192
Глава VII. Частные решения уравнений
интегралы по переменной г. Составление перечня тех сферически
симметричных течений, которые могут быть выражены в конечном виде,
значительно сложнее. Поэтому мы ограничимся случаем линейных волн, не
только потому, что анализ его проще всего, но и потому, что некоторые из
полученных результатов являются фундаментальными для ньютоновской
космологии. Под линейным волновым движением мы будем понимать движение,
для которого зависимость скорости q вдоль радиуса-вектора такова:
где / - произвольная функция Т. Закон (7.201) для скорости имеет
следующее интересное следствие. Пусть О - начало отсчета г, а Р-
произвольный элемент движущейся жидкости. Тогда в векторных обозначениях
ОР- г и скорость элемента Р относительно О равна
Элемент газа, находящийся в точке О, разумеется, покоится относительно О.
Предположим теперь, что О' - другое начало отсчета, связанное с некоторым
элементом газа. Если О'Р-х' и 00'- а, то скорость Р относительно О' будет
Скорость элемента газа в О' будет снова равна нулю относительно О'.
Следовательно, форма закона скоростей (7.201) не зависит от выбора начала
отсчета (если считать, что начало отсчета движется вместе с
соответствующим элементом газа). Наблюдатель, сопровождающий произвольный
элемент газа, видит, что газ вокруг него движется сферически симметрично:
каждый элемент газа удаляется от наблюдателя (или приближается к нему) со
скоростью, пропорциональной расстоянию до наблюдателя.
Подставив р = фг в (6.446) и используя (7.201), получаем дифференциальное
уравнение для р в виде
(7.201)
rVг ¦- -J------------------Н - 0,
