Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
остальные показывают, что линейное волновое течение с произвольными
функциями Р(Т) и F (С) являются, вообще говоря, неадиабатическим.
Субстанциональная скорость изменения энтропии единицы массы газа дается
(7.111). Если диссипация энергии (в эрг/сек ¦ см3) равна dEjdT, то из
(3.205) и определения S имеем
dE dQ dS р dS 1 .0.
~dT~-Jp~dT~ 7~""l" ~~ 7-Т ~dT '
где dSjdT дается (7.111). Эта энергия, разумеется, полностью теряется
газом (например, путем лучеиспускания).
Подкласс адиабатических течений представляет особый интерес; он
соответствует функциям Р и F, удовлетворяющим соотношению
HLт + ТР = П {(л - 1) ¦+ Т ("¦+ 1)} Тп'1 С2 (F/0, + 2iuOtF?.
п-f-1 1 1
(7.113)
а) Рассмотрим сначала случай, когда гравитационным самопритяжением
газа мы пренебрегаем, так что движение происходит под действием одного
лишь градиента давления. Эта ситуация соответствует пренебрежению в
предыдущих формулах членами со множителем G и поэтому (7.113) может
удовлетворяться произвольными функциями F при
(п_1) + т(Я+1) = 0, -^рТ + рР = 0,
§ 7.1. Одномерное движение
187
0ТКУда 7_i / у- Ч-2ТЛТ+1)
¦ (7Л14)
где р0 и Т0 - постоянные интегрирования. Таким образом, из (7.110) и
(7.114) с 0 = 0 мы получили следующую теорему: любое одномерное течение
газа, у которого скорость, плотность и давление даются выражениями:
р - Т~ "Т+Г FK, (7.115)
р = Ро (77 Т'оГ ^ Т~ (/=¦ А,
т-1
где F - произвольная функция, а (, = (Х/Т -{-q)Ti+1 является
адиабатическим течением. Физически допустимы лишь решения с Fк >0 и р > 0
во всей области, занимаемой течением. Подкласс адиабатических течений,
которые являются изо-энтропическими, определяется выражением р = тдет,
где rj - постоянная. Отсюда, используя (7.115), имеем
р0То<+1 + = Л (7.116)
Это уравнение определяет функцию F для изоэнтропического течения. Хорошо
известный случай простой волны получается в предположении, что
F = Жх,
где А - положительная постоянная, а X - постоянная, подлежащая
определению. Подставляя выражение для F в (7.116) и приравнивая члены с
одинаковыми степенями С, получаем
Ро = 0, ^ =
так что (7.115) сводится к системе
2 X т-1
U:
¦ 7 + 1 Т 7+1 2
+ Р-'Ч)
188
Глава VII. Частные решения уравнений
Это решение уравнений ньютоновской газовой динамики использовалось в
задаче о расширении в пустоту фронта (плоского и бесконечно протяженного)
облака межзвездного газа, однородного в начальный момент [1]. Можно
показать, что постоянная q совпадает с -2<70/(Т-1), где q0 - скорость
звука в еще невозмущенной части газа.
б) Ситуация существенно изменится, если рассматривать адиабатическое
движение газа с учетом его гравитационного самопритяжения. При этом
необходимо удовлетворить уравнению (7.113), принимая во внимание член,
содержащий постоянную G. Так как левая часть уравнения является функцией
лишь Т, правая часть не должна зависеть от С. Есть только две возможности
удовлетворить этому требованию: во-первых, можно положить Ft = const;
отсюда р = 0 и мы получаем физически тривиальное решение. Во-вторых,
положить я=1 и
Y ТРт-\-^Р - const.
В результате (7.113) преобразуется к виду
С2 (F/C)c + uGF2 = const.
Продифференцировав это равенство по С получаем два случая:
1) Ftt = 0 и 2)^=-^.
В первом случае р = 0, во втором р -- (2тгОГ2)-1; оба случая физически
тривиальны. Следовательно, не существует нетривиального одномерного
движения газа под действием как гравитационного притяжения, так и
градиента давления.
Но так как любое адиабатическое или изэнтропическое движение типа,
рассмотренного выше в (а), удовлетворяет условию ТР
-ф + тр = п {(я - 1) + т (" + 1)} Тп-1 с2 (F/C)e,
то отсюда из (7.113) и (7.111) следует, что такое движение возможно, если
энтропия единицы массы при ее движении меняется по закону
dS Т (л + 1) 2kG р2
~W~ р Т~ Р
§ 7.1. Одномерное движение
189
Отсюда с помощью (7.112) получаем диссипацию энергии за 1 сек в 1 см3
dE y (" + 1) р2.
~dT ~~ -7^1 Г" с;
для простого изэнтропического движения (7.117), в котором
F = AС2^-1 и n==_(T_i)/(T + i),
диссипация будет
dE 16*04* 1 7 \ЧХ
Таким образом, одномерное движение газа с учетом тяготения требует
выполнения дополнительных условий: чтобы
движение существовало, газ должен терять энергию определенным образом.
Подробный перечень различных наборов функций Р и F мы проводить здесь не
будем. Это требует рассмотрения граничных условий и завело бы нас слишком
далеко в теорию ударных волн и других типов границ, которые могут
ограничивать движение газа. Поэтому перейдем к краткому изложению другого
раздела перечня одномерных движений; здесь для примера мы используем
некоторые простые типы граничных условий.
Поле скоростей газа, не зависящее от положения. Этот тип движения,
включающий изоэнтропическое движение, называемый иногда звуковыми волнами
конечной амплитуды, определяется соотношением
ф = - //(С)Л- /{ $P(T)dT^dT, (7.118)
где / и Р - произвольные функции своих аргументов, а
С = 2б - Jv(7)rf7', (7.119)
где v - произвольная функция. В силу (7.102), (7.103) и (7.104) получаем
