Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
бесконечную скорость SP и пренебречь всеми членами порядка 1 /?Р. В
результате /->0, а4 ->• 1 и L->1, х и f становятся ньютоновским
расстоянием X и ньютоновским абсолютным временем Т соответственно, в то
время как U становится ньютоновской скоростью жидкости. Кроме того, аир
становятся равными и совпадают с ньютоновской плотностью р, в
предположении, что плотность и давление не содержат членов порядка с2.
Кроме того, можно написать
о)=-^-? - ф, (6.419)
если 47, ф, F и Я не содержат ' членов порядка с2. Подставляя в уравнение
(6.415) и пренебрегая всеми членами порядка 1/?Р2, находим
Ф2хг = Фхх{фгг-4^х + 8^(1ф2х+Ям + ^)},
где член 8тсО(=чс2) должен теперь рассматриваться как член второго
порядка по сравнению с остальными членами. Следовательно, приравнивая по
отдельности члены первого и второго порядка нулю, имеем
~2^хх=^тт №~^~^хх = "2^х- (6-420)
172 Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
Подставляя (6.419) и (6.420) в (6.416), (6.417) и (6.418) и снова
пренебрегая членами порядка 1/^2, имеем
что дает нам распределение материи для метрики (6.401) в ньютоновском
приближении. Эти формулы легко интерпретируются с помощью (3.201) и
(3.202) с р, р, зависящими лишь от Х1(-Х) и Т, UX = U, U2 = U3 = 0 и
обращающимися в нуль F2 и F3. Прямая подстановка (6.421) в (3.202)
показывает, что уравнение непрерывности удовлетворяется для всех функций
ij>; остающееся уравнение дает гравитационное самопритяжение
Выражения для р и F, показывают, что 4тсС?ф является потенциалом
тяготения массы жидкости.
2. Сферическая симметрия. Изотропная форма (4.416) для метрики лучше
всего подходит для наших целей и поэтому можно принять
где v и р, являются функциями г и t. Для последующих приложений к
космологии необходимо сохранить на некоторое время космологическую
постоянную в уравнениях Эйнштейна. Формулы для 7'24, Г34, Г12, 7*23, Г13
(стр. 115) показывают, что эти компоненты обращаются в нуль и потому и2 -
0, и3 = 0. 4-вектор скорости жидкости удовлетворяет условию
U - tyxrhxx'
(6.422)
(6.423)
и скорость в системе отсчета (t, г, 0, ср) равна
§ 6.4. Второе приближение
173
Не обращающиеся в нуль уравнения Эйнштейна (в их точной форме), в силу
(4.406), (4.403), (4.404), (4.405) и (4.410), будут
*{(p+-|-)("4)2-e"v|r}eV:=
= (6'425>
*{(p+?)("1)2 + e-V}"|l =
=c2e_|1 {io*+*)"¦+4 Pv+'i' ivr}-
- е-',(р,"+4'Р'<- y IV<) + (6.426)
xp - Л?-1* j 2-(p. + v)rr+2^r (p. 4-v)r -
- + -Т^) + Л' (6.427)
* (p + -? ) "4ul = e^] (l*rf - i tVr) • (6-428)
Приближение с точностью до членов порядка х2 включи-
тельно мы получим, положив
= 1 -(- хф -{- е'= 1 + *(-|-<о - ^-j-x2Z, (6.429)
где ф, ?, ш, Z - функции г и t. С точностью до х2 имеем рь = хф -ф- Х2^,
V = X (В - х2С,
где
е=чг-1ф", c = z-i(l-ш_ф)а. (6.430)
Учитывая, что в рассматриваемом случае
V2 = JLl1± дгг ' г дг '
174
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
получаем для (6.425) - (6.428)
^(p + -f)("4)2-^-J-}ev =
(6.431)
4 {(р + ¦?) (м1)2 + е~*Р} "" = * (7 °7 - Ф") +
+ х2|_1фШг + ^ + Г)г + ^ф2 + ^1(^ш_^ +
+ (72 ф) Ф" "4 Ф? + 2"(72 ш Ф^} + Л>
(6.432)
хр = х (шгг + ~ Шг - фм) + х2 | - ф (шгг+ у СО,) +
+ ~2^~^~^гг + 77 (^ + + + 7Г Фг) +
+ (т^~ ф) Ф"~ *"-|ф? + тФ<(7т" -ф),}+А-
(6.433)
х(р + 7г)м4м1 = х'Ь + х2{^ - ^Ф< |гФг4'
(6.434)
где е*1 и ev означают правые части (6.429). Условие совместности этих
уравнений будет получено в гл. VIII [уравнение (8.205)]. Сейчас же мы
перейдем к ньютоновскому приближению, заменив с бесконечной скоростью ??.
Время t тогда становится ньютоновским абсолютным временем Т, координата г
превращается в радиус-вектор от начала отсчета в абсолютном эвклидовом
пространстве и отношение и1)и*
(6.424) становится ньютоновской скоростью жидкости q. Кроме того,
выражение (6.423) с помощью (6.429) может быть записано в виде
J^y=l - 7Г + Х(т^ -Ф - |?Ф)+х2(2 - Т*?)-
Следовательно, при с->а? и4=1, если только ни одна из функций q, (в, i]>,
Z и 47 не возрастает при этом настолько, что еще один член, кроме
первого, не обращается в нуль.
$ 6.4. Второв приближение
175
В частности, это означает, что ш не может быть порядка с4 или выше; она
может быть, однако, порядка с2; эту возможность мы рассмотрим в § 6.5.
Предполагая, что q, (в, i]>, Z и № имеет порядок ниже чем с2, нужно также
ввести предположение о малости космологической постоянной,
удовлетворяющей (6.201), с тем чтобы ньютоновское давление оставалось
конечным. Замена с на ^ в членах левых частей (6.431) и (6.432) дает
(и4)2 е'1 = 1, (и1)2 ev' = q2,
откуда получается ньютоновская форма уравнений (6.431) -
(6.434):
р = - У2ф, (6.435)
рд2 -|- р = - юг - фтт + 4тсО | - (1 + С)г - у | + X,
(6.436)
Р - mrr + шг - $тт "Н { (^ Огг +
+ |"+С)г+1ф2} + Х, (6.437)
Р д = ^гт> (6.438)
здесь р - ньютоновское давление. Но эти уравнения оказываются
несовместными для произвольных наборов функций ш, (S +
C) и if. В самом деле, исключая р, q и р, мы
получаем условие совместности
- у "г + 4иО {(? + С)" - I (Е + С), + fr} = 0Ы2/У2ф.
