Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
распределении материи, описываемом (6.210) или (6.224), которое
ответственно за поле тяготения. Добавочная сила тяготения просто
свидетельствует о том, что системы отсчета (К) и (X) движутся ускоренно
одна
т
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна.
относительно другой. В самом деле из (6.219) и (6.221) следует
d2X- d2Y-
2' 3) (6-305)
и
_у 4 Mi__ ^ , "(о ^ | о ^ \ т
dYt ~ 2u dXj dXi ~ dXt + VmldXm + дХп )
В пренебрежении членами порядка (4uG)2, что соответствует в ньютоновском
приближении отбрасыванию членов порядках2, уравнение (6.304) переходит в
(6.302). Однако уравнения (6.305) показывают, что относительное ускорение
двух систем отсчета точно равно 4иОа^. Что это ускорение не является
истинным гравитационным ускорением, подчеркивается тем, что оно остается
при i)i = 0, ^ = 0, т. е. если материя, являющаяся источником поля
тяготения, отсутствует. Пространство-время с метрикой (6.101) сводится
тогда к пространству-времени Минковского, и система отсчета (у)
становится ускоренной системой в смысле § 4.6. Следует ожидать, что
псевдогравитационное ускорение, появляющееся при использовании
неподходящей системы отсчета, появится также при решении уравнений
Эйнштейна в их точной форме, и слишком большое доверие к принципу
геодезических линий может привести к ошибке.
§ 6.4. Второе приближение. Газовая динамика при учете тяготения
Выполним разложение метрических коэффициентов в уравнениях Эйнштейна до
членов порядка х? и покажем, что образующееся ньютоновское приближение
определяет движение жидкости или газа под действием как градиента
давления, так и гравитационного притяжения. Общее решение задачи приводит
к очень сложным формулам, и поэтому метод будет проиллюстрирован на
примере двух важных частных случаев.
1. Плоская симметрия. Примем, что космологическая постоянная равна
нулю. На основании (4.413) и (4.414) метрические коэффициенты в
обозначениях Дингля будут
D - Ac2=- e2f, В = С - ^-. (6.401)
§ 6.4. Второе приближение
169
Выражения для Г12, Г13, Г24 и Т34 показывают, что все эти компоненты
тождественно равны нулю. Отсюда и2 = 0 и и3 = 0, и тождество, которому
удовлетворяет 4-вектор скорости, сводится к
1 = D (и4)2 - А (а1)2. (6.402)
Удобно ввести обозначения
L = efu\ U = Аг1, а = р + ^- (6.403)
и обозначать частные производные / и h по л: = х1 и t = л;4 посредством
соответствующих индексов. Оставшиеся уравнения Эйнштейна, приведенные
ниже, соответствуют следующим компонентам тензора энергии:
уп у22 __ уЗЗ у44 fli __ f \\
х (at/2 + /?) = e-V {- 2htt -f- c2 (h2x + 2hjx) -
- (ЗА' -2A/,)}, (6-404)
¦'P = *-y {- htt ~ fu + *2 (hxx+fxx) + c4\ - h)}, (6.405)
- ^ -?) = 2hxx + Щ - 2hJx -
-jr(A? + 2A//)}- (6-406)
- xcUL = 2е-У {- hxt - hxht + hjt -f- htf x); (6.407) уравнение (6.402)
принимает вид
1=A2--(6.408)
Используя уравнение (6.405), можно выразить at/2 и at,2 в (6.404) и
(6.406) через производные / и /г; затем можно исключить a, U и L с
помощью уравнения (6.407). В результате получается условие совместности,
которому должны удовлетворять / и h, чтобы уравнения (6.404) и (6.407)
были совместными:
4 {А*/ + АЛ - /А - /Л)2 =
= 7Г {А" - fit + с2 (hxx + - 2fxhx) +
+ 2 (А2 - /A)} X {hu + /" +
' + с2 (hxx - + 2hl - /Л) - 2/Л} * (6-409)
170
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
Если / и h удовлетворяют этому условию, с может быть найдено путем
исключения р, U2 и L? из уравнений (6.405), (6.406) и (6.408); можно
определить также р, так как уравнение (6.405) дает р. Далее уравнения
(6.404) и (6.405) дают al)2\ таким образом пять уравнений (6.404) -
(6.408) эквивалентны уравнению (6.409) вместе с уравнениями
хР = в-У[ fxx - hxx + -jr Оhtt -fti)-bhl + ft? }, (6.410)
*p = e~2/(c2(/"+Kx)-{K+fu) + c*hl(6-41D
*U2 = {_ C2 {fxx + hxx) _ (htt _ fti) +
+ 2c2fxfix - Щ + 2/Д}, (6.412)
L2 = l+-?. (6-413)
где <з, входящее в уравнение (6.412), можно исключить с помощью
соотношения
= {c2fxx-ftt-c4+h% (6'414)
Эти формулы являются точными, и мы должны теперь получить их приближенную
форму, пренебрегая членами порядка х3 и выше. Пусть
/ = _^ф + х2Д, A = _J", + x2 Н,
где ф, (о, F и //-функции х и /, не содержащие членов порядка с2 и в
которых опущены члены более высокого порядка, чем к2. Так как частные
производные / и h имеют по меньшей мере порядок х, то достаточно положить
д-2/= 1-j-хф. Условие совместности (6.409) можно тогда записать в виде
4*2 {--и +т ~ т -т } =
- у-2 [ Y (ф - \ (Ф + ш)хх + '• |с (#+ Р)хх +
+ (Н - F)tt - Т ФЛ +т - т Ф/"<} ] X х[ - + + - ">)**+*{(#-
р)хх +
+1. (Я + F)tt + Ф А - ? ФЛ } 1 • (6 •415>
§ 6.4. Второе приближение
\П
а (6.410), (6.411) и (6.407) преобразующие соответственно в Р = ^ (ш -
ф)** -(ю - ф)" + х| -1 (Я- /% -
- (Я - F)xx - 2^- ф (ш - ф)" + у ф (ш - ф)*, - -Т"*-(6-416)
Р = Y (ф ¦4 (r))" - ? (ф + +'* { с2 (р + я>" -
- (^ + #)" -у Ф (Ф + ")** + f Ф (Ф + ")/< + +тс2а,'-т<0?}- (6-417)
а UL = - а"х< + х ^2ЯЛ - фа> +1 соЛ - 1 ф4ш ж - 1 ф*а>4) .
(6.418)
Чтобы перейти к ньютоновскому приближению, мы должны заменить с на
