Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
определить две массы, находящиеся внутри сферы радиуса г: одну,
соответствующую р, и другую, соответствующую эквивалентной постоянной
плотности -2Л0:
Г
М = 4* J рг2 dr - - 4тс г2,
о
Г
М0 = 4* J (- 2А0) r2dr - - 4^- Л0г3.
о
Тогда уравнение (6.509) принимает вид
г, GM | 8%G 4 GM GM0
F = JT-+ -V =-------------------^--------
Первое выражение для F показывает, что "большая" космологическая
постоянная проявляется в виде силы, действующей вдоль радиуса-вектора и
пропорциональной расстоянию г. Эта сила действует наряду с силой,
создаваемой распределением материи с плотностью р; она будет
отталкиванием
12*
180
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
или притяжением в зависимости от того, положительна или отрицательна
космологическая постоянная Л0. Второе выражение для F показывает, что эта
добавочная сила может быть также интерпретирована как гравитационное
притяжение, создаваемое материей с эквивалентной постоянной плотностью -
2Л0. Таким образом, наличие "большой" космологической постоянной в
уравнениях Эйнштейна приводит в ньютоновском приближении к такому же
гравитационному эффекту, какой имел бы место в присутствии дополнительной
фиктивной материи с постоянной (положительной или отрицательной)
плотностью. При такой интерпретации плотность, входящая в обычное
уравнение Пуассона, не включает эту фиктивную дополнительную плотность.
Однако очевидно, что плотность фиктивной материи не может быть сравнима
по величине с плотностью, рассматриваемой обычно в приложениях
ньютоновской теории потенциала. В противном случае ньютоновская теория не
имела бы никакого успеха. В общей теории относительности можно было бы
считать Aq Ф- 0 только для задач космологии (см. § 9.5). Таким образом
численное значение Л0 не превышает по порядку величины усредненной
плотности систем галактик, рассматриваемых как целое, т. е. 10~3°-10-31
г/см5. "Большая" космологическая постоянная такого порядка величины никак
не проявит себя в любой "обычной" физической ситуации.
Члены, содержащие Л0 в предшествующих уравнениях, появляются из членов
порядка х2 в уравнениях (6.431)-
(6.434) и поэтому имеют второй порядок величины. Следовательно, они не
могут присутствовать, если разложения метрических коэффициентов содержат
члены лишь до первого порядка, как было сделано в § 6.1.
Таким образом влияние "большой" космологической постоянной сходно с силой
тяготения в ньютоновской теории и не может проявиться в виде силы,
обусловленной градиентом давления.
§ 6.6. Выводы
В этой главе мы рассмотрели следующие свойства ортогональных решений
точных уравнений Эйнштейна (по крайней мере тех решений, метрические
коэффициенты которых могут быть разложены по степеням х):
§ 6.6 Выводы
181
1) если космологическая постоянная имеет порядок 1/с2, то определяемый ею
эффект тривиален; если она порядка хс2, то ее эффект эквивалентен
тяготению фиктивной материи, имеющей постоянную (положительную или
отрицательную) плотность;
2) в первом приближении по х (независимо от того, велика или мала
космологическая постоянная) ньютоновское приближение к уравнениям
Эйнштейна дает гидродинамическое движение жидкости под действием одного
лишь градиента давления. Это заключение основывается на предположении,
что жидкость идеальна; так как плотность, вообще говоря, переменна, то
жидкость подобна газу;
3) учет членов второго порядка по х приводит в ньютоновском приближении к
гравитационному самопритяжению частиц жидкости и (если космологическая
постоянная имеет порядок хс2) к гравитационному действию фиктивной
материи.
Мы разобрали также некоторые трудности, встречающиеся при нахождении
точных решений уравнений Эйнштейна и рассмотрели движение жидкости,
происходящее под действием внутренних напряжений и сил тяготения и
подчиняющееся гораздо более сложным уравнениям, чем классические. В
качестве первого приближения это рассмотрение дает, между прочим, решение
уравнений ньютоновской газовой динамики - одной из наиболее сложных задач
математической физики. Не удивительно поэтому, что прогресс в этом
направлении был столь медленным.
Следует отметить, что не каждое точное решение уравнений Эйнштейна
физически приемлемо в том смысле, что могут нарушаться требования р^О,
р~^> 0, а также однозначности скорости и давления (за исключением
возможных разрывов непрерывности). В качестве примера нарушения этих
требований рассмотрим решение, сводящееся в ньютоновском приближении к
(6.421), причем
Ф = Ро cos (X- ит) - \ РоТ2. где р0, U, р0 - постоянные. Тогда
р = р0 cos (X - UT), р - р0 - 2itOp2 sin2 (X - UT);
182
Г лава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
плотность принимает как положительные, так и отрицательные значения и
обращается в нуль, если X - UT= -^ (2/1+1),
где п - целое число. Очевидно, это решение неприемлемо и нет никакой
гарантии, что соответствующее точное решение уравнений Эйнштейна окажется
физически допустимым. Поэтому каждое решение должно быть тщательно
