Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
Г-о
должен равняться нулю вдоль кривой. Приближенное значение этого интеграла
вдоль соседней кривой равно
Р-1 Г-1 - -
1^0 Р-о
И
Яйх'> dxa , I dg.." dx'> dx" , .
, n dx'> du" \) .
Первый член в подынтегральном выражении обращается в нуль, поскольку h -
0 и, следовательно,
Г-i
Т Г I де... dx"1 dx3 _ d j dx1 \) , , ,
'=ч|-в-тж-!*Ыг'+
Г-о
I Г dx? ^ 'f1 + s
dV- >0
где, как и ранее, проинтегрированный член обращается в нуль. Если
свойство h - 0 справедливо до первого порядка для всех соседних кривых
нулевой геодезической линии, соединяющих Р0 и Рг, то 1 = 1 - 0. Поэтому
ф^жЬт^жж-0'^1-2.......................л)- <2-308)
и, как и ранее, эти уравнения могут быть преобразованы к виду
d2x° . ( а ) dx* dx'> / , n \ m о nn\
^- + {xv!^r^T* (0=1*2.........")• (2'309)
что представляет собой стандартную форму уравнений нулевой геодезической
линии, первым интегралом которых является (2.307).
В качестве простого примера рассмотрим геодезические линии трехмерного
эвклидового пространства с метрикой (2.202). Так как все компоненты
метрического тензора равны постоянным, дифференциальные уравнения
геодезических линий (2.303) суть
§ 2.3. Геодезические линии
49
Эти уравнения непосредственно интегрируются и дают уравнение прямой
линии, проходящей через точку (Л'д, К0, Z0)
Направляющие косинусы этой прямой суть (I, т, п) и, как хорошо известно,
удовлетворяют условию
Но они являются компонентами единичного тангенциального вектора
геодезической линии, так что последнее уравнение эквивалентно уравнению
(2.306), если метрика определяется (2.202).
В качестве другого примера проверим утверждение, что большие круги на
сфере являются геодезическими линиями. Точка 0 = 0 в (2.203) может быть
произвольно выбрана на поверхности сферы. Тогда кривые cp = const-
"меридианы", соответствующие этому "полюсу"; кривые 0 = const - (малые)
"широтные окружности", причем только кривая 0 = я/2 является большим
кругом. Если в (2.303) ввести обозначения х1 = 0, дс2 = ср, эти уравнения
сводятся к следующей паре:
Частными решениями этих уравнений являются, очевидно, ср = const, ad - s,
или 9 = тс/2, acp = s, являющиеся, соответственно, "меридианами" и
"экватором" по отношению к выбранной в качестве "полюса" точке. "Широтные
окружности", на которых 0 имеет постоянное значение, отличное от я/2, не
удовлетворяют уравнениям геодезической линии. Таким образом, большие
круги на сфере являются геодезическими линиями, а малые круги - нет,
хотя, конечно, мы не доказали того, что геодезическими линиями на сфере
будут только большие круги.
Нулевыми геодезическими линиями эвклидового пространства с метрикой
(2.202) являются, если использовать (2.308) и (2.307), прямые линии
X- Х( I
Y-Yг
т
Z-Z.
п
s.
I2 -f- т2 -|- п2 - 1.
Х - Х0
У-Уо X - Z0
(2.310)
I
т п
4 Г. Мак-Витти
50 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
направляющие косинусы которых удовлетворяют условию
I2 -j- m2 -j- п2 - 0
и, следовательно, не могут быть действительными. Таким образом нулевые
геодезические линии являются в этом случае мнимыми прямыми. Эта ситуация,
однако, меняется в случае такого пространства как (2.206), где один из
метрических коэффициентов является отрицательным, поскольку, хотя в этом
случае уравнения геодезических линий по-прежнему имеют вид (2.310), (I,
т, п) удовлетворяют теперь условию
/2 -|- т2- я2 = 0.
Таким образом, в этом случае возможны действительные значения для (/, т,
п) и как геодезические, так и нулевые геодезические линии пространства
(2.206) являются действительными прямыми.
§ 2.4. Ковариантное дифференцирование
Геодезические линии риманова пространства образуют семейство путей,
определенных инвариантным образом благодаря свойству стационарности
интервала, измеренного вдоль любого из путей. Поэтому эти кривые не
зависят от частного вида системы координат и представляют собой
естественный путь для перемещения из одной точки пространства к другой.
Таким образом они могут быть использованы для подсчета изменения вектора
или тензора от одной точки к другой, причем можно вообразить себе, что
эти объекты "переносятся" вдоль геодезической линии, соединяющей эти две
точки. Пусть (д:) - некоторая точка на геодезической линии {x-\-dx) -
сосед-
dx*
няя точка на той же линии, и пусть = - единичный
тангенциальный вектор геодезической линии. Пусть, далее, -
контравариантный вектор, ковариантная форма которого есть V ; тогда
V^V'2' является, конечно, скалярам. Вектор (х -f- dx) определяется как
результат переноса из
§ 2.4. Ковариантное дифференцирование 51
точки (х) в точку (x-\-dx) посредством постулирования того, что
должно быть скаляром независимо от того, какие две соседние точки на
геодезической линии рассматриваются. Это определение приводит к
некоторому смешанному тензору 2-го ранга, который называется ковариантной
производной У1*. У.читывая (2.305) и (2.304), имеем
i-M'-i')=[sv, =
Ч4?+ци^.
Левая часть этого равенства - скаляр, тогда как в правой части стоит
