Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мак-Витти Г.К. -> "Общая теория относительности и космология" -> 10

Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.

Мак-Витти Г.К. Общая теория относительности и космология — М.: Иностранная литература, 1956. — 283 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 85 >> Следующая

а отдельные функции Т|1V называют компонентами тензора. Сравнение (2.109)
с (2.106) показывает, что в последнем равенстве закон преобразования
контравариантного вектора в известном смысле был использован дважды.
Однако читатель не должен сделать из этого обстоятельства (неправильный)
вывод, что любой контрава-риантный тензор 2-го ранга может быть выражен в
виде некоторой комбинации контравариантных векторов. С другой стороны, по
аналогии с (2.107), п2 функций координат /( ([XV = 1, 2, ..., п) с
законом преобразования
' дх* дх$ ^ дх* дх'*
(2.110)
32 Глава //. Тензорное исчисление и риманова геометрия
образуют ковариантный тензор 2-го ранга. Наконец, м< определить п2
функций координат Pt (р, v = 1, 2, ..., * закон преобразования которых
имеет частично контравари ный и частично ковариантный характер, а именно
1 ~~ дх- дхг' (
В таком случае говорят, что совокупность п2 функций о( зует смешанный
тензор 2-го ранга.
Ранг тензора указывает только на число индексов в компонентах, но не
отражает ковариантный или контр; риантный характер этих индексов. Можно
определить т зоры более высокого ранга, чем второй, с помощью правг что
каждому контравариантному индексу ставится в соотв ствие закон
преобразования, аналогичный закону преобра вания контравариантного
вектора, и что ковариантный инд* подчиняется правилу преобразования
ковариантного векто Так, совокупность я4 функций координат /?? образует
ti зор 4-го ранга с тремя ковариантными индексами и одн контравариантным
индексом. Закон преобразования этс тензора имеет вид
г/р дх'? дх& дх'! дх5 D*
7 (I - Пруо-
дх" дх' дх' дх'
Обычно вектор или тензор обозначают одной из его комп нент, так что,
например, тензор, закон преобразования koti рого дается равенством
(2.109), будет упоминаться к; "тензор Т^".
Рассмотрение законов преобразования тензоров показь вает, что если
некоторый тензор является нулевым тензорог т. е. все его компоненты равны
нулю в одной системе Koof динат, то все его компоненты будут равны нулю и
в любо другой системе координат. Таким образом нулевой характе тензора
невозможно изменить никаким изменением систем) координат.
') Правильнее было бы не писать индексы один над другим так как, вообще
говоря, тензоры Я'(;' и не совпадают. - Прим ред.
§ 2.1. Точечное многообразие. Тензоры
33
Имеются операции, которые могут быть применены к тензорам и посредством
которых из данного тензора могут быть получены другие тензоры. Одной из
таких операций является операция свертывания, которая превращает данный
тензор ранга X (X > 2) в новый тензор ранга X - 2. Выберем произвольный
ковариантный и произвольный контравариантный индексы тензора и
просуммируем все компоненты, в которых эти два индекса имеют одинаковое
численное значение1). В результате получим компоненту нового тензора,
называемого свернутой формой исходного тензора. Предположим, например,
что задан тензор 4-го ранга /?? и что для операции свертывания выбраны
контравариантный индекс р и третий ковариантный индекс v. Свернутая форма
есть
То, что /?х представляет собой ковариантный тензор 2-го ранга, можно
доказать следующим образом. Совершим преобразование системы координат
D' ___D'9 ____ дх'9 дх$ дх1 дхъ Dcc
Пц. - Кцj.P - j - - А:ртз"
дх" дх' дх дх'9
и с помощью (2.108) получим
дх' дх'
откуда видно, что закон преобразования функций /?х совпадает с (2.110) и,
следовательно, /?х являются компонентами некоторого ковариантного тензора
2-го ранга. Операция свертывания может быть применена к тензору /?? и
другим образом, например путем выбора индекса р и второго ковариантного
индекса р. В результате получаем новый свернутый тензор
и, вообще говоря, равенство 5Х(1 = /?х не имеет места.
') Следует предположить также, что при такого рода суммировании остальные
индексы имеют некоторые фиксированные значения.- Прим. перев.
Г. Мак-Витти
34 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
Если операция свертывания применяется к смешанному тензору 2-го ранга,
скажем к 7ji, то в результате получится тензор нулевого ранга, т. е.
скаляр. Таким образом, каждому смешанному тензору 2-го ранга может быть
поставлен в соответствие единственным образом скаляр, получаемый
свертыванием.
Другой операцией, которая может быть произведена над двумя тензорами,
является операция образования внутреннего произведения двух тензоров; при
этом один из тензоров должен иметь по крайней мере один контравариантный
и другой- по крайней мере один ковариантный индекс. Компоненты с
одинаковыми численными значениями этих двух индексов перемножаются, и
берется сумма таких произведений. Результат представляет собой компоненту
некоторого тензора, ранг которого на два меньше комбинированного ранга
двух исходных тензоров. Пусть, например, тензоры
суть Т^ и 5рт, их комбинированный ранг равен пяти; тогда из них могут
быть образованы четыре внутренних произведения тензоров T^Spx, T''v'/4 и
причем ранг
каждого из этих тензоров равен трем. Чтобы показать, что эти внутренние
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed